- 二项式定理
- 共3480题
有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为
（１）求
（２）求
正确答案
（1）
本试题主要是考查了概率的求解以及分布列和数学期望公式的运用。
（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个， 
（２）由（1）可知
分布列
… （10分）
E
甲、乙两人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36. 求：（12分）
(1)甲独立解出该题的概率;
(2)解出该题的人数
正确答案
解(1)设甲独立解出该题的概率为
解得
所以甲独立解出该题的概率是0.2.………………… …(6分)
(2)由题意知
所以
略
（本小题满分12分）
有甲、乙两种相互独立的预防措施可以降低某地区某灾情的发生．单独采用甲、乙预防措施后，灾情发生的概率分别为0.08和0.10，且各需要费用60万元和50万元．在不采取任何预防措施的情况下发生灾情的概率为0.3．如果灾情发生，将会造成800万元的损失．（设总费用=采取预防措施的费用+可能发生灾情损失费用）
（I）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，他们各自总费用是多少？
（II）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少的那个方案．
正确答案
解（I）若单独采用甲预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为
若单独采用乙预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为
所以，单独采用甲预防措施的总费用为124万元，单独采用乙预防措施的总费用为130万元． ————6分
（II）若实施联合采用方案，设可能发生灾情的损失费用为X，则X = 0和800，且
所以，可能发生灾情的损失费用的期望值为6.4万元，因此总费用为116.4万元．
————9分
若不采取措施，则可能发生灾情的损失费用的期望值为
可知此时的总费用为240万元． ————11分
综上，选择联合预防措施的方案总费用最少． ————12分
略
设随机变量
正确答案
略
已知暗箱中开始有3个红球，2个白裘。现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中。
(1)求第二次取出红球的概率；
(2)求第三次取出白球的概率；
(3)设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的期望值。
正确答案
（1）
设第n次取出白球的概率为Pn，Qn
（1）第二次取出红球的概率是
（2）三次取的过程共有以下情况：
白白白，白红白，红白白，红红白
所以第三次取出白球的概率是
（3）连续取球3次，得分的情况共有8种
5+5+5，8+5+5，5+8+5，5+5+8，8+8+5，8+5+8，5+8+8，8+8+8
∴
（Ⅰ）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率;
（Ⅱ）求该人两次投掷后得分
正确答案
（1）
（1）“投入红袋”“投入蓝袋”“不入袋”分别记事件A、B、C，则
P（A）=
∴P4（3）=（
2）
P（
P（
∴E
一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为______．
正确答案
由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），
∴3a+2b=2，
∴2≥2 
∴ab≤
∴ab的最大值为
故答案为：
(14分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有
（1）求一个零件经过检测为合格品的概率？
（2）若任意抽取该种零件4个，设
正确答案
（1）
（1）设
由题意，得
解得
（2）依题意知
分布列为
【考点定位】本题考查概率分布、数学期望与方差等知识.
甲向靶子A射击两次，乙向靶子射击一次.甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分.
（1）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；
（2）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望.
正确答案
（1）0.18；（2）详见解析.
试题分析：本题主要考查二项分布、独立事件、随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由题意分析，“甲乙二人共命中”共有2种情况：一种是甲射击2次中一次、乙没中，一种情况是甲射击2次都没中、乙中一次；第二问，由题意分析：甲乙射击是否命中有以下几种情况：1.甲2次都没中、乙没中，2.甲2次都没中、乙中一次，3.甲2次中一次、乙没中，4.甲2次中1次、乙中1次，5.甲2次都中、乙没中，6.甲2次都中、乙中一次，共6种情况，所以得分情况分别为0分、5分、10分、15分、20分，共5种情况，分别与上述情况相对应，求出每一种情况的概率，列出分布列，再利用
试题解析：（1）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则
P(A)＝
（2）X的可能取值为0，5，10，15，20．
P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝
P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝
P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32．
X的分布列为
10分
X的期望为
E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． 12分
为迎接我校110周年校庆，校友会于日前举办了一次募捐爱心演出，有1000 人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数
（1）已知校友甲在第一轮抽奖中被抽中，求校友甲在第二轮抽奖中获奖的概率；
（2）若校友乙参加了此次活动，求校友乙参加此次活动收益的期望；
正确答案
（Ⅰ）P(A)=
本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望，解题的关键是明确变量的可能取值及其含义．
（Ⅰ）确定从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字的基本事件的个数，与校友甲在第二轮抽奖中获奖的基本事件个数，即可求得校友甲在第二轮抽奖中获奖的概率；（Ⅱ）设校友乙参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望．
17. 解：（Ⅰ）从0，1，2，3四个数字中有重复取2个数字，其基本事件有
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共 16 个………………………………………………………………………………３分
设“校友甲在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有
（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，
∴P(A)=
（Ⅱ）设校友乙参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900．
P(ξ=-100)=
P(ξ="9900)=" 
∴ξ的分布列为
∴
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