- 二项式定理
- 共3480题
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．
（1）求3人中恰有1名女生的概率；
（2）求3人中至少有1名男生的概率；
（3）求“所选3人中男生人数ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数C63=20，
3人中恰有1名女生的事件数是C21C42=12
∴3人中恰有1名女生的概率是
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数C63=20，
3人中至少有1名男生是一个必然事件
∴3人中至少有1名男生的概率是1．
（3）由题意知所选的三人中男生数是1，2，3
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴Eξ=
解析
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数C63=20，
3人中恰有1名女生的事件数是C21C42=12
∴3人中恰有1名女生的概率是
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件数C63=20，
3人中至少有1名男生是一个必然事件
∴3人中至少有1名男生的概率是1．
（3）由题意知所选的三人中男生数是1，2，3
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴Eξ=
甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是
（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人面试合格的概率；
（2）求签约人数的期望和方差．
正确答案
解：（1）设“A、B、C分别表示甲、乙、丙面试合格”事件则
三人都不合格的概率
∴至少有一人合格的概率
（2）设ξ代表签约人数，则有ξ=0，1，2，3
∴
分布列
∴
（12分）
解析
解：（1）设“A、B、C分别表示甲、乙、丙面试合格”事件则
三人都不合格的概率
∴至少有一人合格的概率
（2）设ξ代表签约人数，则有ξ=0，1，2，3
∴
分布列
∴
（12分）
某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：
根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．
正确答案
解：（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则
即两人答对题目个数之和为4或5的概率为
（Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3．
则
从而X的分布列为：
故X的数学期望．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则
即两人答对题目个数之和为4或5的概率为
（Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3．
则
从而X的分布列为：
故X的数学期望．…（12分）
一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．
（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；
（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
正确答案
解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P=
∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为
（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则
P（X=1）=
∴随机变量X的分布列为：
∴E（X）=1×+2×+3×=．
解析
解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P=
∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为
（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则
P（X=1）=
∴随机变量X的分布列为：
∴E（X）=1×+2×+3×=．
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸得两球，所得分数分别记为x、y，设o为坐标原点，点p的坐标为（x-2），x-y），记ξ=|
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ=（x-2）2+（x-y）2≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，
因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=
（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，
ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，
∴P（ξ=0）=
故随机变量ξ的分布列为：
因此数学期望Eξ==2
解析
解：（Ⅰ）∵x，y可能的取值为1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ=（x-2）2+（x-y）2≤5，当且仅当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=5，
因此随机变量ξ的最大值为5，因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种，
∴P（ξ=5）=
（Ⅱ）ξ的所有的取值为0，1，2，5
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一情况，
ξ=1时，有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，
∴P（ξ=0）=
故随机变量ξ的分布列为：
因此数学期望Eξ==2
为了解甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：mg）下表是乙厂的5件产品测量数据
①已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
②当产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；
③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：①设乙厂生产的产品数量为m件，由分层抽样的方法可得
②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75．估计乙厂生产的优质品的数量=
③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有
P（ξ=0）=
可得ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ==1.2．
解析
解：①设乙厂生产的产品数量为m件，由分层抽样的方法可得
②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75．估计乙厂生产的优质品的数量=
③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有
P（ξ=0）=
可得ξ的分布列为：
∴数学期望Eξ==1.2．
正确答案
解：（I）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
所以选中的“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，
则它的对立事件A¯表示“没有一名“高个子”被选中”，
则P（A）=1-
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
（Ⅱ）依题意，X的取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=2）=
因此，X的分布列如下：
∴EX=0×+1×+2×+3×=1．
解析
解：（I）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
所以选中的“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，
则它的对立事件A¯表示“没有一名“高个子”被选中”，
则P（A）=1-
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
（Ⅱ）依题意，X的取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=2）=
因此，X的分布列如下：
∴EX=0×+1×+2×+3×=1．
下表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良．
（1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；
（2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m3”，求事件M发生的概率；
（3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取3天，记ξ为“PM2.5”24小时平均浓度不超过75ug/m3的天数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：
A2、A3、A5、A9、A10共5天，------------------------------------------------（1分）
故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P=
（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m3，有编号为A2、A9、A10，共3天，-----------------------------------（4分）
故事件M发生的概率P（M）=
（3）由（1）知，ξ的可能取值为1，2，3．--------------------------------------------（7分）
且P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
故ξ的分布列为：
--------------------------------------------------------（11分）
ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．-------------------------------------（12分）
解析
解：（1）由表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期有：
A2、A3、A5、A9、A10共5天，------------------------------------------------（1分）
故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P=
（2）由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m3，有编号为A2、A9、A10，共3天，-----------------------------------（4分）
故事件M发生的概率P（M）=
（3）由（1）知，ξ的可能取值为1，2，3．--------------------------------------------（7分）
且P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
故ξ的分布列为：
--------------------------------------------------------（11分）
ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．-------------------------------------（12分）
已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，
∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是
∴S=
∵S+m=1，
∴m=
故选C．
某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；
（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列．
正确答案
解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5．
（2）设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有
这两名学生来自同一所中学的取法共有
∴
∴从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率为
（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．
依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
解析
解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5．
（2）设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，
从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有
这两名学生来自同一所中学的取法共有
∴
∴从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率为
（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．
依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列为：
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