- 二项式定理
- 共3480题
某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则每台销售利润为0元；若1＜T≤3，则每台销售利润为100元；若T＞3，则每台销售利润为200元．设每台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2是方程10x2-6x+a=0的两个根，且P2=P3．
（Ⅰ）求P1，P2，P3的值；
（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种电视机的销售利润总和，写出ξ的所有结果，并求ξ的分布列；
（Ⅲ）求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值．
正确答案
解：（Ⅰ）∵p1，p2是方程10x2-6x+a=0的两个根，∴p1+p2=
又∵P1+P2+P3=1，且P2=P3，
∴
（Ⅱ）记一台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3分别为事件A1，A2，A3，
ξ的取值有0，100，200，300，400，
P（ξ=0）=P（A1A1）=
P（ξ=100）=P（A1A2∪A2A1）=
P（ξ=200）=P（A2A2+A3A1+A1A3）
=
P（ξ=300）=P（A1A3+A3A1）=
P（ξ=400）=P（A3A3）=
∴ξ的分布列为：
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
Eξ==240．
∴销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值240．
解析
解：（Ⅰ）∵p1，p2是方程10x2-6x+a=0的两个根，∴p1+p2=
又∵P1+P2+P3=1，且P2=P3，
∴
（Ⅱ）记一台该种电视机的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3分别为事件A1，A2，A3，
ξ的取值有0，100，200，300，400，
P（ξ=0）=P（A1A1）=
P（ξ=100）=P（A1A2∪A2A1）=
P（ξ=200）=P（A2A2+A3A1+A1A3）
=
P（ξ=300）=P（A1A3+A3A1）=
P（ξ=400）=P（A3A3）=
∴ξ的分布列为：
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
Eξ==240．
∴销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值240．
某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为
（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
正确答案
解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，
由于乙队中3人答对的概率分别为
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=10）=
P（ξ=20）=
P（ξ=30）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．
（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．
又P（A）==，P（B）=××=，
则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为
P（A+B）=P（A）+P（B）==．
解析
解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，
由于乙队中3人答对的概率分别为
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=10）=
P（ξ=20）=
P（ξ=30）=
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．
（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．
又P（A）==，P（B）=××=，
则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为
P（A+B）=P（A）+P（B）==．
口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X的数学期望是______．
正确答案
解析
解：由题设知X的可能取值为1，2，3，4，5．
随机地取出两个球，共有：
∴P（X=1）=
∴随机变量X的分布列为
故EX=1×+2×+3×+4×+5×=．
故答案为：．
暗箱中开始有3个红球，2个白球．每次从暗箱中取出一球后，将此球以及与它同色的5个球（共六个球）一齐放回暗箱中．
（1）求第二次取出红球的概率
（2）求第三次取出白球的概率；
（3）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分的期望值．
正确答案
解：设第n次取出白球的概率为Pn，第n次取出红球的概率为Qn，
（1）第二次取出红球的概率Q2=
（2）三次取的过程共有下列情况：
白白白，白红白，红白白，红红白，
第三次取出白球的概率
P3=
+
（5分）（每项1分）
（3）连续取球3次，得分的情况共有
5+5+5，5+8+5，8+5+5，8+8+5，5+5+8，5+8+8，8+5+8，8+8+8
列表如下：
得分期望x=15´+18´+21´+24´=（4分）
解析
解：设第n次取出白球的概率为Pn，第n次取出红球的概率为Qn，
（1）第二次取出红球的概率Q2=
（2）三次取的过程共有下列情况：
白白白，白红白，红白白，红红白，
第三次取出白球的概率
P3=
+
（5分）（每项1分）
（3）连续取球3次，得分的情况共有
5+5+5，5+8+5，8+5+5，8+8+5，5+5+8，5+8+8，8+5+8，8+8+8
列表如下：
得分期望x=15´+18´+21´+24´=（4分）
某学校举行定点投篮考试，规定每人最多投篮4次，一旦某次投篮命中，便可得到满分，不再继续以后的投篮，否则一直投到第4次为止．如果李明同学参加这次测试，设他每次定点投篮命中的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．
（I）求他在本次测试中投篮次数ξ的概率分布和数学期望；
（II）求他在本次测试中得到满分的概率．
正确答案
解：（I）投篮次数ξ的可能取值为1，2，3，4，则
P（ξ=1）=0.6；P（ξ=2）=0.4×0.7=0.28；P（ξ=3）=0.4×0.3×0.8=0.096；P（ξ=4）=0.4×0.3×0.2=0.024
∴ξ的概率分布列为
∴Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544；
（II）记在本次测试中得到满分为事件A，则
P（A）=0.6+0.4×0.7+0.4×0.3×0.8+0.4×0.3×0.2×0.9=0.9976．
解析
解：（I）投篮次数ξ的可能取值为1，2，3，4，则
P（ξ=1）=0.6；P（ξ=2）=0.4×0.7=0.28；P（ξ=3）=0.4×0.3×0.8=0.096；P（ξ=4）=0.4×0.3×0.2=0.024
∴ξ的概率分布列为
∴Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544；
（II）记在本次测试中得到满分为事件A，则
P（A）=0.6+0.4×0.7+0.4×0.3×0.8+0.4×0.3×0.2×0.9=0.9976．
（1）请补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
（2）从年龄在[40，50）岁的“房地产投资”人群中采取分层抽样法抽取18人参加投资管理学习活动，其中选取3人作为代表发言，记选取的3名代表中年龄在[40，45）岁的人数为X，求X的分布列和期望EX．
正确答案
解：（1）在第一组年龄[25，30）的人数为
考查第四组得到
∴200+
故第三组的频率为
根据以上数据即可得到频率分布直方图：
（2）由分层抽样的计算公式可知：在第四组与第五组抽取的人数分别为
选取的3名代表中年龄在[40，45）岁的人数X所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
解析
解：（1）在第一组年龄[25，30）的人数为
考查第四组得到
∴200+
故第三组的频率为
根据以上数据即可得到频率分布直方图：
（2）由分层抽样的计算公式可知：在第四组与第五组抽取的人数分别为
选取的3名代表中年龄在[40，45）岁的人数X所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
若ξ的分布列为：
其中p∈（0，1），则Eξ=______，Dξ=______．
正确答案
q，
pq
解析
解：Eξ=0×p+1×q=q
Dξ=（0-q）2×p+（1-q）2×q=pq
故答案为：q；pq．
附加题：在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）．小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）．
（1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？
（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．
正确答案
解：（1）若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；
若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；
若三瓶口味一样，有8种．
所以小明共有56+56+8=120种选择． （4分）
（2）ξ的取值为0，1，2，3．
所以ξ的分布列为 （8分）
其数学期望．（10分）
解析
解：（1）若小明买的三瓶口味均不同，有C83=56种；
若其中两瓶口味一样，有C81C71=56种；
若三瓶口味一样，有8种．
所以小明共有56+56+8=120种选择． （4分）
（2）ξ的取值为0，1，2，3．
所以ξ的分布列为 （8分）
其数学期望．（10分）
设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为______．
正确答案
解析
解：从袋中10个球中任取4个球，共有
∴从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率P=
故答案为
有六节电池，其中有2节没电，4节有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，
（Ⅰ）求“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”的概率．
（Ⅱ）所要测试的次数ξ为随机变量，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）解法一：
设事件A=“第二次测出的电池没电”，
B=“第三次测出的电池也没电”，
则
所以
解法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，
则
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，
∴分布列为
（10分）
．（12分）
解析
解：（Ⅰ）解法一：
设事件A=“第二次测出的电池没电”，
B=“第三次测出的电池也没电”，
则
所以
解法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，
则
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，
∴分布列为
（10分）
．（12分）
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