- 二项式定理
- 共3480题
甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
（Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，
包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、
“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，
分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，
则：P（A1）=
∴P（A）=
故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分对给1分）（12分）
解析
解：（Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，
包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、
“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”，
分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，
则：P（A1）=
∴P（A）=
故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为
（Ⅱ）由题意知ξ=0、1、2．
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×+1×+2×=．（分布列（1分），方差（2分）；分布列部分对给1分）（12分）
设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ=0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．
（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．
正确答案
解：（1）从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，共有
∴P（ξ=0）=
（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：
①四点在相对面且异面的对角线上，体积为1-4×
②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为
∴ξ的分布列为
数学期望E（ξ）=．
解析
解：（1）从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点，共有
∴P（ξ=0）=
（2）四点不共面时，四面体的体积有以下两种情况：
①四点在相对面且异面的对角线上，体积为1-4×
②四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为
∴ξ的分布列为
数学期望E（ξ）=．
在市高三第一次模拟考试数学学科考试后，某同学对老师说：第（Ⅰ）卷为十道选择题，每题5分，前六道没错，第7、8、9三题均有两个选项能排除，第10题只有一个选项能排除．
（Ⅰ）求该同学选择题得40分的概率；
（Ⅱ）若（Ⅱ）卷能拿65分，该同学数学得分的期望和得分不低于100分的概率．
正确答案
解：（Ⅰ） 第7、8、9三题均有两个选项能排除，
因此，第7、8、9三题做对的概率均为
因此，第10题做对的概率为
所以，该同学选择题得40（分）的概率P为：
P=
（Ⅱ）设该同学7、8、9、10题中做对的题数为X，则随机变量X的分布列为
E（X）=0×=，
所以，该同学数学得分的期望为30+65=．
该同学数学得分不低于100分的概率为P==．
解析
解：（Ⅰ） 第7、8、9三题均有两个选项能排除，
因此，第7、8、9三题做对的概率均为
因此，第10题做对的概率为
所以，该同学选择题得40（分）的概率P为：
P=
（Ⅱ）设该同学7、8、9、10题中做对的题数为X，则随机变量X的分布列为
E（X）=0×=，
所以，该同学数学得分的期望为30+65=．
该同学数学得分不低于100分的概率为P==．
5件产品中，3件正品，从中任取2件，X是取出的次品件数．
（1）计算X的分布列；
（2）计算X的数学期望．
正确答案
解：（1）X是取出的次品件数，取值可以是0，1，2，则
P（X=0）=
∴X的分布列：
（2）EX=0×0.3+1×0.6+2×0.1=0.8
解析
解：（1）X是取出的次品件数，取值可以是0，1，2，则
P（X=0）=
∴X的分布列：
（2）EX=0×0.3+1×0.6+2×0.1=0.8
一次围棋擂台赛，由一位职业围棋高手设擂做擂主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂．如果某一业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束．已知甲、乙、丙三人战胜擂主的概率分别为p1，p2，p3，每人能否战胜擂主是相互独立的．
（1）求这次擂主能成功守擂（即战胜三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙顺序攻擂，这次擂台赛共进行了x次比赛，求x得数学期望；
（3）假定p3＜p2＜p1＜1，试分析以怎样的先后顺序出场，可使所需出场人员数的均值（数学期望）达到最小，并证明你的结论．
正确答案
解：（1）设擂主能成功守擂的事件为A，三人攻擂获胜的事件为Bi，i=1，2，3，则P（Bi）=pi，
三人攻擂均失败的概率为（1-p1）（1-p2）（1-p3）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1-p1）（1-p2）（1-p3）．…3分
（2）比赛场数X=1，2，3．
X=1，比赛一场结束，则第一位业余棋手就获胜，其概率为P（X=1）=p1；
X=2，比赛二场结束，则第一位业余棋手攻擂失败，第二位胜利，其概率是P（X=2）=（1-p1） p2；
X=3，比赛三场结束，则第一，二位业余棋手攻擂失败，其概率为P（X=3）=（1-p1）（1-p2），
E（X）=p1+2（1-p1） p2+3（1-p1）（1-p2）=3-2p1-p2+p1p2．…6分
（3）答按获胜概率从大到小的顺序出场，则所需出场人员数的均值为最小．…7分
下面证明以上结论．
设q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，如果按q1，q2，q3有顺序出场，
由（2）可得期望 E（X）=3-2q1-q2+q1q2．
因为△=（3-2q1-q2+q1q2）-（3-2p1-p2+p1p2）=2（p1-q1）+（p2-q2）+q1q2-p1p2=2（p1-q1）+（p2-q2）-（p1-q1）p2-（p2-q2）q1=（2-p2） （p1-q1）+（p2-q2）（1-q1）≥（1-q1）（ p1-q1）+（p2-q2）（1-q1）=（1-q1）[（p1+p2）-（q1+q2）]≥0．
等号成立当且仅当q1=p1，q2=p2．
所以，按获胜概率从大到小的顺序出场，所需出场人员数的均值为最小．…10分
解析
解：（1）设擂主能成功守擂的事件为A，三人攻擂获胜的事件为Bi，i=1，2，3，则P（Bi）=pi，
三人攻擂均失败的概率为（1-p1）（1-p2）（1-p3）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1-p1）（1-p2）（1-p3）．…3分
（2）比赛场数X=1，2，3．
X=1，比赛一场结束，则第一位业余棋手就获胜，其概率为P（X=1）=p1；
X=2，比赛二场结束，则第一位业余棋手攻擂失败，第二位胜利，其概率是P（X=2）=（1-p1） p2；
X=3，比赛三场结束，则第一，二位业余棋手攻擂失败，其概率为P（X=3）=（1-p1）（1-p2），
E（X）=p1+2（1-p1） p2+3（1-p1）（1-p2）=3-2p1-p2+p1p2．…6分
（3）答按获胜概率从大到小的顺序出场，则所需出场人员数的均值为最小．…7分
下面证明以上结论．
设q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，如果按q1，q2，q3有顺序出场，
由（2）可得期望 E（X）=3-2q1-q2+q1q2．
因为△=（3-2q1-q2+q1q2）-（3-2p1-p2+p1p2）=2（p1-q1）+（p2-q2）+q1q2-p1p2=2（p1-q1）+（p2-q2）-（p1-q1）p2-（p2-q2）q1=（2-p2） （p1-q1）+（p2-q2）（1-q1）≥（1-q1）（ p1-q1）+（p2-q2）（1-q1）=（1-q1）[（p1+p2）-（q1+q2）]≥0．
等号成立当且仅当q1=p1，q2=p2．
所以，按获胜概率从大到小的顺序出场，所需出场人员数的均值为最小．…10分
（1）请你为该出租车司机选择一条由A到B的路线，
使得途中发生堵车事件的概率较小；
（2）若记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．
正确答案
解：（1）根据题意得出：A-C-B堵车的概率为：P1=1-（1-
A-D-B堵车的概率为：P2=1-（1-
∵
∴
∴A-C-B堵车的概率小，
（2）∵记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2
∴P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
Eξ=0×=
解析
解：（1）根据题意得出：A-C-B堵车的概率为：P1=1-（1-
A-D-B堵车的概率为：P2=1-（1-
∵
∴
∴A-C-B堵车的概率小，
（2）∵记路线A-C-B中遇到堵车路段的个数为ξ=0，1，2
∴P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
Eξ=0×=
（I）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）学校决定对参加社区服务的这M名学生进行表彰，对参加活动次数在[25，30），[20，25），[15，20），[10，15）区间的学生依次发放价值80元，60元、40元、20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．
正确答案
解：（I）由题设知
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]组的频率与组距之比a为0.12．
（Ⅱ）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值X可能为0元、20元、40元、60元，
则P（X=0）=
P（X=20）=
P（X=40）=
P（X=60）=
∴X的分布列为：
∴EX=0×=．
解析
解：（I）由题设知
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]组的频率与组距之比a为0.12．
（Ⅱ）所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值X可能为0元、20元、40元、60元，
则P（X=0）=
P（X=20）=
P（X=40）=
P（X=60）=
∴X的分布列为：
∴EX=0×=．
随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，若
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
∵a+b+c=1，
Eξ=-1×a+1×c=c-a=
联立三式得a=
故选D．
（1）请在如图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；
（2）要从4名语文成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）的值．
正确答案
b=
故这些数据的回归方程是：
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2． …（7分）
P（X=0）=
故X的分布列为：
…（11分）
∴E（X）=0×+1×+2×=1． …（12分）
解析
b=
故这些数据的回归方程是：
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2． …（7分）
P（X=0）=
故X的分布列为：
…（11分）
∴E（X）=0×+1×+2×=1． …（12分）
某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求数学期望Eξ．
正确答案
解：事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1，2，3．
由题意可知
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ξ=0”是对立的，
∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是
1-P（ξ=0）=1-
（II）由题意可知，
P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
整理得p=
∵a=P（ξ=1）=
=
=
d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=
解析
解：事件A表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1，2，3．
由题意可知
（I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“ξ=0”是对立的，
∴该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是
1-P（ξ=0）=1-
（II）由题意可知，
P（ξ=0）=
P（ξ=3）=
整理得p=
∵a=P（ξ=1）=
=
=
d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
∴Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=
扫码查看完整答案与解析