- 二项式定理
- 共3480题
某校要组建校篮球队，需要在各班选拔预备队员，按照投篮成绩确定入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中至少4次则可入围，否则被淘汰．已知某班小王每次投篮投中的概率为
（1）求小王投5次篮后才确定入围的概率；
（2）若规定每人连续两次投篮不中，则停止投篮，求小王投篮次数X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）记“小王投5次篮才能入围”为事件C，
则P（C）=
（2）由题意知X的可能取值为2，3，4，5，
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
∴X的分布列为：
∴EX=2×+3×+4×+5×=．
解析
解：（1）记“小王投5次篮才能入围”为事件C，
则P（C）=
（2）由题意知X的可能取值为2，3，4，5，
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
∴X的分布列为：
∴EX=2×+3×+4×+5×=．
为提高学生的素质，某校决定开设一批选修课程，分别为文学、艺术、竞赛三类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的
（1）求他们选择的科目所属类别互不相同的概率；
（2）记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）∵甲、乙、丙三人选择的科目所属类别互不相同的情况有A33=6种，
∴他们选择的科目所属类别互不相同的概率p=6×
（2）设η为3人中选择的科目属于艺术的人数，则η～B（3，
由题设知ξ=3-η，
则P（ξ=k）=P（η=3-k）=
∴ξ人分布列是
Eξ=3-Eη=3-3×=．
解析
解：（1）∵甲、乙、丙三人选择的科目所属类别互不相同的情况有A33=6种，
∴他们选择的科目所属类别互不相同的概率p=6×
（2）设η为3人中选择的科目属于艺术的人数，则η～B（3，
由题设知ξ=3-η，
则P（ξ=k）=P（η=3-k）=
∴ξ人分布列是
Eξ=3-Eη=3-3×=．
某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3：2：1
（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节），请由统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．
（Ⅱ）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．
①求至少有一节为C模式课堂的概率；
②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．
参考临界值表：
正确答案
解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：
K2=
由临界值表P（k2≥6.635）≈0.010，
故有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关 …．（3分）
（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型．
事件M表示“抽取的3节课中至少有一节课为C模式课堂”．
则P（M）=
②X的所有取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=2）=
所以随机变量X的分布列为
…．（10分）
所以E（X）=0×+1×+2×+3×=1…．（12分）
解析
解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：
K2=
由临界值表P（k2≥6.635）≈0.010，
故有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关 …．（3分）
（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型．
事件M表示“抽取的3节课中至少有一节课为C模式课堂”．
则P（M）=
②X的所有取值为0，1，2，3．
P（X=0）=
P（X=2）=
所以随机变量X的分布列为
…．（10分）
所以E（X）=0×+1×+2×+3×=1…．（12分）
正确答案
解析
解：游人每玩一次，设东方庄家获利为随机变量ξ（元）；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量η+1，则η～B（7，0.5）．
因为P（ξ=-4）=P（η=0或η=7）=P（η=0）+P（η=7）=
P（ξ=-2）=P（η=1或η=6）=P（η=1）+P（η=6）=
P（ξ=0）=P（η=2或η=5）=P（η=2）+P（η=5）=
P（ξ=2）=P（η=3或η=4）=P（η=3）+P（η=4）=
2+Eξ=2+（-4）×
一小时内有80人次玩．刚东方庄家通常获纯利为（2+
答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑． （12分）
2010年上海世博会的志愿者中有这样一组志愿者：有几个人只通晓英语，还有几个人只通晓俄语，剩下的人只通晓法语，已知从中任抽一人恰是通晓英语的人的概率为
（I）求这组志愿者的人数；
（II）现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名，若甲通晓俄语，乙通晓法语，求甲和乙不全被选中的概率；
（III）现从这组志愿者中用抽签法选出3人，求3人所会的语种数X的分布列．
正确答案
解：（I）设通晓英语的有x人，通晓俄语的有y人，通晓法语的有z人，
且x，y，z∈N*
则依题意有：
（II） 用A表示事件“甲、乙不全被选中”，则A的对立事件
则
所以甲和乙不全被选中的概率为
（III）随机变量X的可能取值为1，2，3…9分
随机变量X分布列：
…13分．
解析
解：（I）设通晓英语的有x人，通晓俄语的有y人，通晓法语的有z人，
且x，y，z∈N*
则依题意有：
（II） 用A表示事件“甲、乙不全被选中”，则A的对立事件
则
所以甲和乙不全被选中的概率为
（III）随机变量X的可能取值为1，2，3…9分
随机变量X分布列：
…13分．
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
正确答案
解：（1）当n≥16时，y=16×（10-5）=80；
当n≤15时，y=5n-5（16-n）=10n-80，得：
（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，
P（X=60）=
X的分布列为
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5-3×5）×0.1+（15×5-2×5）×0.2+（16×5-1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴应购进17枝
解析
解：（1）当n≥16时，y=16×（10-5）=80；
当n≤15时，y=5n-5（16-n）=10n-80，得：
（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，
P（X=60）=
X的分布列为
EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5-3×5）×0.1+（15×5-2×5）×0.2+（16×5-1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴应购进17枝
随机变量X的概率分布规律为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，
∴
故选D．
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
（1）求该射手通过测试的概率
（2）求该射手在这次测试中命中的次数X的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）设向甲射击第一次命中为事件A1，第二次命中为事件A2，向乙射击一次命中为事件B，
则P（A1）=P（A2）=
则P（
若该射手通过测试，则对应的事件为A1A2+
则对应的概率为P（A1A2+
=
即该射手通过测试的概率为
（2）由题意知X=0，1，2，
当X=0，说明三次都没有命中，对应的概率P（X=0）=（1-
当X=1，对应的概率P（X=1）=C
当X=2，说明射击甲两次命中2次，同时乙没有命中或者射击甲两次命中一次，射击乙命中，
对应的概率P（X=2）=
则对应的分布列为：
EX=0×+1×+2×=
解析
解：（1）设向甲射击第一次命中为事件A1，第二次命中为事件A2，向乙射击一次命中为事件B，
则P（A1）=P（A2）=
则P（
若该射手通过测试，则对应的事件为A1A2+
则对应的概率为P（A1A2+
=
即该射手通过测试的概率为
（2）由题意知X=0，1，2，
当X=0，说明三次都没有命中，对应的概率P（X=0）=（1-
当X=1，对应的概率P（X=1）=C
当X=2，说明射击甲两次命中2次，同时乙没有命中或者射击甲两次命中一次，射击乙命中，
对应的概率P（X=2）=
则对应的分布列为：
EX=0×+1×+2×=
（Ⅰ）求小球落入B袋中的概率P（B）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入2个小球，记落入A袋中的小球个数为ξ，试求ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入B袋中，故
（Ⅱ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而
显然，ξ的取值为0、1、2，且
故．…（12分）
（或由随机变量，故．）
解析
解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入B袋中，故
（Ⅱ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而
显然，ξ的取值为0、1、2，且
故．…（12分）
（或由随机变量，故．）
袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为______．
正确答案
0.0434
解析
解：分类讨论：第1次、第4次取出红球；第2次、第4次取出红球；第3次、第4次取出红球
∴第4次恰好取完所有红球的概率为
故答案为：0.0434
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