- 二项式定理
- 共3480题
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
正确答案
解：（1）由题意知，小明中奖的概率为
记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）=
即他们的累计得分x≤3的概率为
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2，
∴E（X1）=2×
从而E（2X1）=2E（X1）=
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．
解析
解：（1）由题意知，小明中奖的概率为
记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，
因为P（X=5）=
即他们的累计得分x≤3的概率为
（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，
小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）
都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）
由已知可得，X1～B（2，
∴E（X1）=2×
从而E（2X1）=2E（X1）=
由于E（2X1）＞E（3X2），
∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
正确答案
解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.0125．
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，
因为600×0.12=72，
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
所以X的分布列为：
．（或）
所以X的数学期望为1．
解析
解：（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.0125．
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12，
因为600×0.12=72，
所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4．
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
所以X的分布列为：
．（或）
所以X的数学期望为1．
在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为
（Ⅰ）求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；
（Ⅱ）设随机变量 X为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量 X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
正确答案
解：（I）设乙队胜或平丙队的事件分别A1，A2，A3，乙队胜、平、负丁队的事件分别B1，B2，B3，
则P（A1）=P（A2）=
设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=
（II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．
P（X=7）=P（A1）P（B1）=
P（X=4）=
P（X=2）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=
可得随机变量X的分布列为：
E（X）=++4×+3×+2×+1×=．
（III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．乙队为小组第二，可以出线．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4，因此不能确保乙队出线．
解析
解：（I）设乙队胜或平丙队的事件分别A1，A2，A3，乙队胜、平、负丁队的事件分别B1，B2，B3，
则P（A1）=P（A2）=
设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=
（II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．
P（X=7）=P（A1）P（B1）=
P（X=4）=
P（X=2）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=
可得随机变量X的分布列为：
E（X）=++4×+3×+2×+1×=．
（III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．乙队为小组第二，可以出线．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4，因此不能确保乙队出线．
某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按成绩（满分100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：
（1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；
（2）数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作
时间；物理合格一人可赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，
（i）记X为数学一人和物理一人所赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（ii）随机抽取5名学生，求这5名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）结合所给的表格可得数学合格的概率约为
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4，2，-3．则P（X=9）=
所以，随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n人，则不合格有5-n人，
依题意，得5n-2（5-n）≥14，解得n≥所以n=4或n=5．
设“抽查5位同学物理考前辅导后进行的测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时为事件A，则P（A）=
解析
解：（Ⅰ）结合所给的表格可得数学合格的概率约为
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为9，4，2，-3．则P（X=9）=
所以，随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格n人，则不合格有5-n人，
依题意，得5n-2（5-n）≥14，解得n≥所以n=4或n=5．
设“抽查5位同学物理考前辅导后进行的测试所赢得的机器人操作时间不少于14小时为事件A，则P（A）=
（1）分别计算甲乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由．
（2）现从乙班这10名同学中随机抽取三名同学，设身高在（160，190）之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）由题意，
∴
估计甲、乙两班同学的身高且乙班同学的身高相对整齐，甲班同学身高差距较大；
（2）X=0，1，2，3
P（X=0）=
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=．
解析
解：（1）由题意，
∴
估计甲、乙两班同学的身高且乙班同学的身高相对整齐，甲班同学身高差距较大；
（2）X=0，1，2，3
P（X=0）=
∴X的分布列为
EX=0×+1×+2×+3×=．
若随机变量X的概率分布如下表，则表中a的值为（ ）
正确答案
解析
解：由离散型随机变量的分布列的性质知道
0.2+0.3+0.3+a=1
a=0.2
验证符合概率的范围．，
故选D．
有6件不同序号产品，其中含有3件次品，现逐个抽取检查（不放回），求：
（1）前4次恰好查出2件次品的概率；
（2）设查出全部次品时检查产品的个数为ξ，求ξ的分布列、期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从6件产品中拿出4间进行排列，共有A64种结果，
满足条件的事件是前4次恰好查出2件次品，共有C32C32A44种结果，
∴要求的概率
（2）根据题意，ξ的取值可以是3、4、5．
∴分布列是：
∴．
解析
解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从6件产品中拿出4间进行排列，共有A64种结果，
满足条件的事件是前4次恰好查出2件次品，共有C32C32A44种结果，
∴要求的概率
（2）根据题意，ξ的取值可以是3、4、5．
∴分布列是：
∴．
某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下
（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；
（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从这7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E（X），D（X）．
正确答案
解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴
解得n=40，
（2）X=0，1，2
∴E（X）=1×+2×=，D（X）==．
解析
解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴
解得n=40，
（2）X=0，1，2
∴E（X）=1×+2×=，D（X）==．
已知盒中有5个红球、n个白球，共5+n个球，从盒中每次摸取一个球，然后放回，连续摸取三次，设每次摸取时每个球被摸到的概率是相等的．若第一次和第三次均摸到白球的概率为
（Ⅰ）求盒中的球的总数；
（Ⅱ）求三次摸取中摸到白球的次数的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“摸取一次得到白球”为事件A，则P（A）=
在三次独立重复试验中，第一次、第三次均取到白球的概率为
∴n=1，
即盒中有5个红球，1个白球，盒中的球的总数为6．
（Ⅱ）P（A）=
设ξ是三次取球中取到白球的次数，则ξ～B（3，
ξ的分布列为
Eξ=3×．
解析
解：（Ⅰ）设“摸取一次得到白球”为事件A，则P（A）=
在三次独立重复试验中，第一次、第三次均取到白球的概率为
∴n=1，
即盒中有5个红球，1个白球，盒中的球的总数为6．
（Ⅱ）P（A）=
设ξ是三次取球中取到白球的次数，则ξ～B（3，
ξ的分布列为
Eξ=3×．
某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
正确答案
解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，
由题意，得 
∴P=P1•P2=
（Ⅱ）依题意知ξ～B（4，
分布列为
解析
解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，
由题意，得
∴P=P1•P2=
（Ⅱ）依题意知ξ～B（4，
分布列为
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