- 二项式定理
- 共3480题
随机变量X的分布列如下：若
正确答案
解析
解：由题意：
所以DX=
故答案为：
某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．
（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．
附：
正确答案
解：（Ⅰ）由题意得列联表：
因为K2=
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…（5分）
（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是
则X～B（3，
X的分布列为
所以E（X）=3×=．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）由题意得列联表：
因为K2=
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…（5分）
（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是
则X～B（3，
X的分布列为
所以E（X）=3×=．…（12分）
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
∴选中的“高个子”有12×
用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，
则它的对立事件
则P（A）=1-P（
∴至少有一人是“高个子”的概率是
（Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列如下：
∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1．
解析
解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
∴选中的“高个子”有12×
用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，
则它的对立事件
则P（A）=1-P（
∴至少有一人是“高个子”的概率是
（Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列如下：
∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1．
一笼子中装有2只白猫，3只黑猫，笼门打开每次出来一只猫，每次每只猫都有可能出来．
（1）第三次出来的是只白猫的概率；
（2）记白猫出来完时笼中所剩黑猫数ξ，试求ξ的概率分布列及期望．
正确答案
解：（1）所有可能情况为
∴第三次出来的是只白猫的概率
（2）设笼中所剩黑猫数为ξ，则ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=
其概率分布列如下：
∴Eξ=1×+2×+3×=1．
解析
解：（1）所有可能情况为
∴第三次出来的是只白猫的概率
（2）设笼中所剩黑猫数为ξ，则ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=
其概率分布列如下：
∴Eξ=1×+2×+3×=1．
（1）估计该校高三男生的平均身高；
（2）从身高在170cm（含170cm）以上的样本中随机抽取2人，记身高在170～175cm之间的人数为X，求X的分布列和数学期望．
（部分参考数据：167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325=139.00）
正确答案
解：（1）由题意，高三男生的平均身高为162.5×0.01×5+167.5×0.025×5+172.5×0.07×5+177.5×0.065×5+182.5×0.02×5+187.5×0.01×5=139+35.75=174.75；
（2）身高在170cm（含170cm）以上的样本容量为（1-0.01×5-0.025×5）×40=33，身高在170～175cm之间的人数为0.07×5×40=14
记身高在170～175cm之间的人数为X，则X的可能取值为0，1，2
P（X=0）=
X的分布列为
∴EX=0×+1×+2×=
解析
解：（1）由题意，高三男生的平均身高为162.5×0.01×5+167.5×0.025×5+172.5×0.07×5+177.5×0.065×5+182.5×0.02×5+187.5×0.01×5=139+35.75=174.75；
（2）身高在170cm（含170cm）以上的样本容量为（1-0.01×5-0.025×5）×40=33，身高在170～175cm之间的人数为0.07×5×40=14
记身高在170～175cm之间的人数为X，则X的可能取值为0，1，2
P（X=0）=
X的分布列为
∴EX=0×+1×+2×=
（1）请估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（2）求调查中共随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（3）若从第一、五组中随机取出两个学生的成绩，记为m，n，若m，n都在区间[13，14]上，则得4分，若m，n都在区间[17，18]上，则得2分，否则得0分，用X表示得分，求X的分布列并计算期望．
正确答案
解：（1）由题意知，百米成绩在[16，17]内的频率为0.32×1=0.32，
0.32×1000=320，
∴估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数为320人．
（2）设图中从左到右前三组的频率分别为3x，8x，19x，
依题意得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，
解得x=0.02，
设调查中随机抽取了n名学生的百米成绩，
则8×0.02=
∴n=50，
∴调查中共随机抽取了50个学生的百米成绩．
（3）成绩在[13，14]内的有3人，成绩在[17，18]内的有4人，X的取值可能为0，2，4，
P（X=0）=
P（X=2）=
P（X=4）=
∴X的分布列为
∴EX=0×+2×+4×=．
解析
解：（1）由题意知，百米成绩在[16，17]内的频率为0.32×1=0.32，
0.32×1000=320，
∴估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数为320人．
（2）设图中从左到右前三组的频率分别为3x，8x，19x，
依题意得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，
解得x=0.02，
设调查中随机抽取了n名学生的百米成绩，
则8×0.02=
∴n=50，
∴调查中共随机抽取了50个学生的百米成绩．
（3）成绩在[13，14]内的有3人，成绩在[17，18]内的有4人，X的取值可能为0，2，4，
P（X=0）=
P（X=2）=
P（X=4）=
∴X的分布列为
∴EX=0×+2×+4×=．
汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车
B型车
（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
正确答案
解：（ I）∵出租天数为3天的汽车A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为
（ II）设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，…，7．
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）
=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）
=
=
该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为
设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为
E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．
从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选择A类型的出租车更加合理．
解析
解：（ I）∵出租天数为3天的汽车A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为
（ II）设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，…，7．
则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）
=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）
=
=
该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为
设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为
E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．
E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．
从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选择A类型的出租车更加合理．
如果随机变量ξ的概率分布律由下表给出：
则ξ的方差Dξ=______．
正确答案
4.3
解析
解：由题意及表格可得：Eξ=（-0.5）×0.4+3×0.2+4×0.4=2，
Dξ=0.4×（-0.5-2）2+0.2×（3-2）2+0.4×（4-2）2=4.3
故答案为：4.3
袋中装有大小、质地相同的8个小球，其中红色小球4个，蓝色和白色小球各 2个．某学生从袋中每次随机地摸出一个小球，记下颜色后放回．规定每次摸出红色小球记2分，摸出蓝色小球记1分，摸出白色小球记0分．
（Ⅰ）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；
（Ⅱ）求该生两次摸球后恰好得2分的概率；
（Ⅲ）求该生两次摸球后得分ξ的数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A，B，C．
由题意得：
因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：
（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得（2分）的概率
（Ⅲ）两次摸球得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
则
∴
解析
解：（Ⅰ）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A，B，C．
由题意得：
因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：
（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得（2分）的概率
（Ⅲ）两次摸球得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
则
∴
为了解甲乙两个快递公司的工作情况，现从甲乙两公司各随机抽取一名快递员（假设同一公司快递的工作情况基本相同），并从两人某月（30）天的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，如图：
已知每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
正确答案
解：（1）甲公司员工A投递件数的平均数为36，众数为33．
（2）设a为乙公司员工B投递件数，则
当a=34时，X=136元，
当a≥35时，X=35×4+（a-35）×7，
X的可能值为136，147，154，189，203
X的分布列为：
E（X）=136×+147×+154×+189×+203×=165.5（元）．
（3）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元．
解析
解：（1）甲公司员工A投递件数的平均数为36，众数为33．
（2）设a为乙公司员工B投递件数，则
当a=34时，X=136元，
当a≥35时，X=35×4+（a-35）×7，
X的可能值为136，147，154，189，203
X的分布列为：
E（X）=136×+147×+154×+189×+203×=165.5（元）．
（3）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元．
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