- 概率
- 共7791题
一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为
正确答案
设B层中有n个个体，
∵B层中甲、乙都被抽到的概率为
∴
∴n2-n-56=0，
∴n=-7（舍去），n=8，
∵总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1
∴共有个体（4+1）×8=40
故答案为：40．
某班几位同学组成研究性学习小组，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次日常生活中是否具有环保意识的调查．若生活习惯具有环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保族”，得到如下统计表：
（Ⅰ）求q、n、a、p的值；
（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“环保族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外环保活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）的概率．
正确答案
（Ⅰ）第二组的频率为：q=1-（0.2+0.2+0.15+0.1+0.05）=0.3
第一组的人数为
第一组的频率为0.2 所以：n=
第二组人数为1000×q=1000×0.3=300 所以：p=
第四组人数a=1000×0.15=150 所以：a=150×0.4=60
（Ⅱ）因为[40，45）年龄段的“环保族”与[45，50）年龄段的“环保族”人数比值为
60：30=2：1，采用分层抽样法抽取6人，[40，45）年龄段的有4人，[45，50）年龄段的
有2人；
设[40，45）年龄段的4人为a、b、c、d，[45，50）年龄段的2人为m、n，
则选取2人作为领队的有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）
（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；其中恰有1人年龄
在[40，45）的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），
共8种
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）的概率为
某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：
（1）写出a、b的值；
（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；
（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．
正确答案
（1）频率总数是1，所以所缺频率b=1-（0.04+0.08+0.16+0.22+0.30+0.08）=0.12．
第6行的频数=50×0.12=6；
∴a、b的值分别为：6、0.12…（2分）
（2）成绩在1（20分）以上的有6+4=10人，
所以估计该校文科生数学成绩在1（20分）以上的学生有：
（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．
法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．
所以甲、乙分到同一组的概率为P=
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，
得到如下的列联表：
已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（Ⅲ）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．
正确答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）根据列联表中的数据，得到k=
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
（Ⅲ）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．
事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、
（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个
∴P(A)=
学校为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班60名同学（其中男同学15名，女同学45名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，女同学甲被抽到的概率为______．
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是60，
而满足条件的事件数是10
∴由古典概型公式得到
P=
故答案为：
某单位举行抽奖活动，每个员工有一次抽奖机会．抽奖箱中放有6个相同的乒乓球，其中三个球上标有数字1，两个球上标有数字2，还有一个球上标有数字3，每个抽奖者从中一次抽出两个球，记两个球上所标数字的和为X，奖项及相应奖品价值如下表：
（1）求某员工获一等奖的概率；
（2）求某员工所获奖品价值Y（元）的概率分布；
（3）该单位有员工30人，试估计该单位需要准备价值多少元的奖品？
正确答案
（1）∵抽奖箱中放有6个相同的乒乓球，其中三个球上标有数字1，两个球上标有数字2，
还有一个球上标有数字3，
我们记标有数字1的球为A1，A2，A3，标有数字2的球为B1，B2，标有数字3的球为C
则从中一次抽出两个球共有C62=15种不同的抽法
其中抽中一等将的事件有（B1，C），（B2，C）两种，
故某员工获一等奖的概率P=
（2）由（1）可得某员工所获奖品价值200元奖品的概率P（ξ=200）=
又∵抽中二等将的事件有（A1，C），（A2，C），（A3，C），（B1，B2）
（A1，B1），（A2，B1），（A3，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A3，B2），十种，
∴某员工所获奖品价值100元奖品的概率P（ξ=100）=
又∵抽中三等将的事件有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A32），三种，
∴某员工所获奖品价值100元奖品的概率P（ξ=50）=
（3）由（2）中结论可得某员工所获奖品价值的数学期望E（ξ）=200•
∵该单位有员工30人
∴该单位需要准备奖品的价值约为103
某工厂生产的产品，可分为一等品、二等品、三等品三类，根据抽样检验的记录有一等品54个、二等品140个、三等品6个．估计三种产品的概率；
正确答案
∵根据抽样检验的记录有一等品54个、二等品140个、三等品6个．
∴共有产品54+140+6=200，
∴一等品的概率是
二等品的概率是
三等品的概率是
某中学为增强学生环保意识，举行了“环抱知识竞赛”，共有900名学生参加这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：
（Ⅰ）求①、②、③处的数值；
（Ⅱ）成绩在[70，90）分的学生约为多少人？
（Ⅲ）估计总体平均数．
正确答案
（Ⅰ）设抽取的样本为x名学生的成绩，
则由第一行中可知0.08=
②处的数值为
③处的数值为50×0.16=8（4分）
（Ⅱ）成绩在[70，80）分的学生频率为0.2，成绩在[80.90）分的学生频率为0.32，
所以成绩在[70.90）分的学生频率为0.52，（6分）
由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以成绩在[70.90）分的学生约为0.52×900=468（人）（8分）
（Ⅲ）利用组中值估计平均为55×0.08+65×0.16+75×0.20+85×0.32+95×0.24=79.8（12分）
某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ） 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（Ⅲ） 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
正确答案
（Ⅰ）1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，
故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．
（Ⅱ） 估计这次考试的及格率（60分）及以上为及格）为1-0.01×10-0.015×10=75%，
平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
（Ⅲ）成绩是70分以上的人数为 60×（0.3+0.025×10+0.005×10）=60×0.6=36．
其中，成绩落在区间[70，80）、[80，90）、[90，100]上的人数
分别为60×0.3=18，60×0.25=15，60×0.05=3，
故从中选两人，他们在同一分数段的概率为 
某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之问的关系，随机抽测了20人，得到如下数据：
（Ⅰ）若“身高大于l75厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．请根据上表数据完成下面的2×2列联表：
（Ⅱ）根据题（I）中表格的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系？
（Ⅲ）若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差：将一个标有数字1，2，3，4，5，6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号．试求：①抽到12号的概率；②抽到“无效序号（超过20号）”的概率．
正确答案
（I）据题意，列出2×2列联表为：
…（3分）（说明：黑框内的三个数据每个（1分），黑框外合计数据有错误的暂不扣分）
（II）假设H0：脚的大小与身高之间没有关系
根据列联表得X2=
当H0成立时，X2＞7.789的概率大约为0.005，而这里8.802＞7.897
所以有99%的可靠性，认为脚的大小与身高之间有关．
（Ⅲ）连续投掷两次所有的结果有6×6=36
由古典概型的概率公式得
①抽到12号的概率为P1=
②抽到“无效序号（超过20号）”的概率为P2=
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0．08，只选修甲和乙的概率是0．12，至少选修一门的概率是0．88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
(2)求ξ的分布列．
正确答案
（1）0．24
（2）
(1)设该学生选修课程甲、乙、丙的概率分别为a，b，c，依题意得
解得
若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函數，
则ξ＝0．
当ξ＝0时，表示该学生选修三门课程或三门课程都没选．
∴P(A)＝P(ξ＝0)＝abc＋(1－a)(1－b)(1－c)
＝0．4×0．5×0．6＋(1－0．4)(1－0．5)(1－0．6)＝0．24．
∴事件A的概率为0．24．
(2)依题意知ξ＝0,2．
则ξ的分布列为
（本小题满分12分）
从集合
（1）求所取的子集中元素从小到大排列成等
（2）记所取出的子集的元素个数为
正确答案
（1）
（1）解：非空真子集的个数为
符合条件的子集有：三元集9个，四元集5个，五元集3个，6元集2个，
故
（2）
… 1分
某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
正确答案
(1)见解析（2）从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．
（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为
∵
同理：
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：
（2）∵
（或
∵
∴
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．
某旅游景点给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙（如图所示）．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次（放入一球就算玩一次）先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．（一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内）．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内游戏庄家是赢是赔？通过计算，你得到什么启示？
正确答案
游人每玩一次，设东方庄家获利为随机变量ξ（元）；游人每放一球，小球落入球槽，相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量η+1，则η～B（7，0.5）．
因为P（ξ=-4）=P（η=0或η=7）=P（η=0）+P（η=7）=
P（ξ=-2）=P（η=1或η=6）=P（η=1）+P（η=6）=
P（ξ=0）=P（η=2或η=5）=P（η=2）+P（η=5）=
P（ξ=2）=P（η=3或η=4）=P（η=3）+P（η=4）=
2+Eξ=2+（-4）×
一小时内有80人次玩．刚东方庄家通常获纯利为（2+
答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子的骗术所迷惑．（12分）
学校高三文科班、理科班各选出3名学生组成代表队进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”的顺序进行比赛；②代表队中每名队员至少报名参加一盘比赛，至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．若已知每盘比赛双方胜的概率均为
问：（1）文科班有多少种不同的排阵方式？
（2）文科班连胜两盘的概率是多少？
（3）文科班恰好胜一盘的概率是多少？
正确答案
（1）由题意知每名队员至少报名参加一盘比赛，
至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛，
文科班有6种不同的排阵方式．
（2）高三文科班连胜两盘包括①第一、二盘胜；②第一盘负，二、三盘胜，
这两种结果是互斥的，
根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
其概率为P(A)=
（3）高三文科班恰好胜一盘包括胜第一盘，负二、三盘和胜第二盘，负一、三盘两种情形，
这两种情况是互斥的
∴概率为P(B)=
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