- 概率
- 共7791题
学校高三文科班、理科班各选出3名学生组成代表队进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”的顺序进行比赛；②代表队中每名队员至少报名参加一盘比赛，至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．若已知每盘比赛双方胜的概率均为
问：（1）文科班有多少种不同的排阵方式？
（2）文科班连胜两盘的概率是多少？
（3）文科班恰好胜一盘的概率是多少？
正确答案
（1）由题意知每名队员至少报名参加一盘比赛，
至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛，
文科班有6种不同的排阵方式．
（2）高三文科班连胜两盘包括①第一、二盘胜；②第一盘负，二、三盘胜，
这两种结果是互斥的，
根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
其概率为P(A)=
（3）高三文科班恰好胜一盘包括胜第一盘，负二、三盘和胜第二盘，负一、三盘两种情形，
这两种情况是互斥的
∴概率为P(B)=
学校高三文科班、理科班各选出3名学生组成代表队进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”的顺序进行比赛；②代表队中每名队员至少报名参加一盘比赛，至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．若已知每盘比赛双方胜的概率均为
问：（1）文科班有多少种不同的排阵方式？
（2）文科班连胜两盘的概率是多少？
（3）文科班恰好胜一盘的概率是多少？
正确答案
（1）由题意知每名队员至少报名参加一盘比赛，
至多参加两盘比赛，但不得参加两盘单打比赛，
文科班有6种不同的排阵方式．
（2）高三文科班连胜两盘包括①第一、二盘胜；②第一盘负，二、三盘胜，
这两种结果是互斥的，
根据互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
其概率为P(A)=
（3）高三文科班恰好胜一盘包括胜第一盘，负二、三盘和胜第二盘，负一、三盘两种情形，
这两种情况是互斥的
∴概率为P(B)=
甲盒中有红皮、黑皮、白皮笔记本各3本，乙盒中有黄皮、黑皮、白皮笔记本各2本，（除颜色外其它完全相同）从两盒中各取一本，求取出的两本是不同颜色的概率．
正确答案
从甲盒中取出1本共有9种取法，从乙盒中取出1本共有6种取法，所以，共有9×6=54种取法．
设A=“取出的两本是相同颜色的笔记本”，B=“取出的两本是不同颜色的笔记本”则P(A)=
则P(B)=1-P(A)=
甲盒中有1个黑球1个白球；乙盒中有1个黑球2个红球．这些球除了颜色不同外其余无差别．
（Ⅰ）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球颜色不同的概率．
（Ⅱ）若把两盒中所有的球混合后放入丙盒中．从丙盒中一次取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率．
正确答案
（Ⅰ）所有的取法有 C21C31=6 种，而取出的两个球颜色相同的取法只有一种，
故取出的两个球颜色不同的取法有5种，故所求事件的概率等于 
（Ⅱ）所有的取法有C52=10种，而取出的两个球颜色相同的取法只有2种，即取出2个黑球，或取出2个红球，
故取出的两个球颜色不同的取法有10-2=8种，故所求事件的概率等于 
已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支．
求：（1）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（2）A组中至少有两支弱队的概率．
正确答案
（1）三支弱队在同一组的概率为
故有一组恰有两支弱队的概率为1-
（2）A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，
对于A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，
所以A组中至少有两支弱队的概率为
甲盒中有1个黑球1个白球；乙盒中有1个黑球2个红球．这些球除了颜色不同外其余无差别．
（Ⅰ）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球颜色不同的概率．
（Ⅱ）若把两盒中所有的球混合后放入丙盒中．从丙盒中一次取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率．
正确答案
（Ⅰ）所有的取法有 C21C31=6 种，而取出的两个球颜色相同的取法只有一种，
故取出的两个球颜色不同的取法有5种，故所求事件的概率等于
（Ⅱ）所有的取法有C52=10种，而取出的两个球颜色相同的取法只有2种，即取出2个黑球，或取出2个红球，
故取出的两个球颜色不同的取法有10-2=8种，故所求事件的概率等于
甲盒中有1个黑球1个白球；乙盒中有1个黑球2个红球．这些球除了颜色不同外其余无差别．
（Ⅰ）从两个盒子中各取1个球，求取出的两个球颜色不同的概率．
（Ⅱ）若把两盒中所有的球混合后放入丙盒中．从丙盒中一次取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率．
正确答案
（Ⅰ）所有的取法有 C21C31=6 种，而取出的两个球颜色相同的取法只有一种，
故取出的两个球颜色不同的取法有5种，故所求事件的概率等于
（Ⅱ）所有的取法有C52=10种，而取出的两个球颜色相同的取法只有2种，即取出2个黑球，或取出2个红球，
故取出的两个球颜色不同的取法有10-2=8种，故所求事件的概率等于
某校选派4人参加上级组织的数学竞赛，现从甲、乙两个竞赛班各选派2人．设甲、乙两班选派的人员获奖概率分别为
（I）求甲、乙两班各有1人获奖的概率；
（II）求该校获奖人数ξ的分布列与期望．
正确答案
（I）设Ak表示甲班有k人获奖，K=0，1，2
Bi表示乙班有i人获奖，i=0，1，2．
P(Ak)=
2
3
)k(
1
3
)2-k；
P(Bi)=
1
2
)i(
1
2
)2-i；
据此算得P(A0)=
P(B0)=
甲、乙两班各有1人获奖的概率为P(A1B1) =P(A1)P(B1) =
（II）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P( A0 •B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=
P(ξ=3)=
P(ξ=4)=
综上知ξ的分布列
从而，ξ的期望为Eξ=0×
23．（本小题满分10分）
将一枚硬币连续抛掷
（Ⅰ）若该硬币均匀，试求
（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为
正确答案
（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，所以正面向上的次数为奇数次的概率为
故
（Ⅱ）因为
则
已知随机事件A、B是互斥事件，若
正确答案
略
已知二次函数f（x）=x2+ax+b2，a，b为常数若a∈{0，1，2，3}，b∈{-2，-1，0，1，2}，求该函数图象与x轴有交点的概率；
正确答案
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是a，b为常数若a∈0，1，2，3，
b∈-2，-1，0，1，2，共有4×5种结果，
∵函数图象与x轴有交点所以△=a2-4b2≥0
∴|a|≥2|b|
当a=0，1时，b=0，
当a=2，3时，b=0，-1，1
共有2+6种结果，
∴所求的概率为
在袋中装有15个小球，其中彩色球有：n个红色球，5个蓝色球，6个黄色球，其余为白色球．已知从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色球）的概率为
（1）袋中有多少个红色球？
（2）从袋中随机取3个球，若取得蓝色球得1分，取得黄色球扣1分，取得红色球或白色球不得分也不扣分，求得分不超过2分且为正分的概率．
正确答案
（1）由题意C153=455，C53+C63=30，而
即袋中有3红，5个蓝色球，6个黄色球，一个白色球；
（2）分析知得1分的情况可能是蓝红红（或白），或者是蓝，黄，蓝，得两分的情况为蓝，蓝，红（或白）
故得分不超过2分且为正分的概率为
故得分不超过2分且为正分的概率是
某校对每间教室的空气质量进行检测，分别在上午和下午各进行一次．空气质量每次检测结果分为A级、B级和C级．若两次检测中有C级或都是B级，则该教室的空气质量不合格．已知每间教室空气质量每次检测结果为A级、B级和C级的概率分别为0.8，0.1，0.1，且各次检测结果相互独立．
（Ⅰ）求每间教室的空气质量合格的概率；
（Ⅱ）对高三年级的三个教室进行检测，且各间教室的空气质量互不影响，求空气质量合格的教室的间数恰好为两间的概率．
正确答案
（Ⅰ）设每间教室的空气质量合格的事件为A…（1分），
每间教室的空气质量合格有两种情况：①两次检测结果都为A，概率等于0.8×0.8，②一次检测结果为A，另一次检测结果不是A，概率等于 2×0.8×0.1，
故 P（A）=0.8×0.8+2×0.8×0.1=0.8． …（6分）
答：每间教室的空气质量合格的概率0.8．
（Ⅱ）设对高三年级的三个教室进行检测，空气质量合格的教室的间数恰好为两间的事件为B…（7分）
P（B）=C32×0.82×0.21=0.384…（13分）
答：空气质量合格的教室的间数恰好为两间的概率为0.384．
生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了．”学了概率后，你能给出解释吗？
正确答案
天气预报的“降水”是一个随机事件，
概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，
我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，
因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的．
在袋中装有15个小球，其中彩色球有：n个红色球，5个蓝色球，6个黄色球，其余为白色球．已知从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色球）的概率为
（1）袋中有多少个红色球？
（2）从袋中随机取3个球，若取得蓝色球得1分，取得黄色球扣1分，取得红色球或白色球不得分也不扣分，求得分不超过2分且为正分的概率．
正确答案
（1）由题意C153=455，C53+C63=30，而
即袋中有3红，5个蓝色球，6个黄色球，一个白色球；
（2）分析知得1分的情况可能是蓝红红（或白），或者是蓝，黄，蓝，得两分的情况为蓝，蓝，红（或白）
故得分不超过2分且为正分的概率为
故得分不超过2分且为正分的概率是
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