- 概率
- 共7791题
六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是______．
正确答案
由题意知，本题是等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有A66=720种结果，
满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，
则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，
共有A33A33种结果，
∴后排每人均比前排同学高的概率是
故答案为：
从数字1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，
试求：（1）这个两位数是5的倍数的概率；
（2）这个两位数是偶数的概率；
（3）这个两位数小于45的概率．
正确答案
从数字1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，共有A52=20个
（1）两位数是5的倍数种数有4个，故其概率是
（2两位数是偶数，其个位数字是偶数，故其种数是C21×C41=8个，故这个两位数是偶数的概率为
（3）两位数小于45，只有当十位数字为5时，才比45大，比45大的数共有4个，故比它小的数有15个，故这个两位数小于45的概率为
某班数学兴趣小组有男生3名和女生2名，现从中任选2名学生去参加全国奥林匹克数学竞赛，求：
（1）写出所有可能的基本事件；
（2）恰有一名男生参赛的概率；
（3）至少有一名男生参赛的概率．
正确答案
（1）记男生3名和女生2名分别为A1，A2，A3，B1，B2从中任选2名共有10种情况，
即为 （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．
（2）记“恰有一名男生参赛”为事件C，事件C包含基本事件共有6个，即为（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）．
所以P(C)=
（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件数是10，
记“至少有一名男生参赛”为事件D，事件D包含基本事件共有9个，
即为（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）．
所以P(D)=
答：从中任选2名共有10种情况，恰有一名男生参赛的概率为
设（a，b）为有序实数对，其中a是从区间A=（-3，1）中任取的一个整数，b是从区间B=（-2，3）中任取的一个整数．
（Ⅰ）请列举出（a，b）各种情况；
（Ⅱ）求“b-a∈A∪B”的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题意知共12个：（-2，-1）（-2，0）（-2，1）（-2，2）（-1，-1）（-1，0）（-1，1）（-1，2）（0，-1）（0，0）（0，1）（0，2）
（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件共有12个，
满足条件的事件为事件“b-a∈A∪B”，则事件从前面的列举可以知道包含9个基本事件，
事件的概率P=
一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．
（I）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；
（Ⅱ）若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率．
正确答案
：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，
∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），
其中数字之和大于或等于7的是（1、3、4），（2、3、4），（1，2，4），∴P（A）=
（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到2”，
∵每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）
（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果．
事件B包含的基本结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个基本结果．
∴所求事件的概率为P（B）=
从装有2个红球和2个黑球的口袋内一次任取2个球，则恰有一个红球的概率是______．
正确答案
从装有2个红球和2个黑球的口袋内一次任取2个球，共有
∴恰有一个红球的概率P=
故答案为
（文）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6道程序，则满足程序A只能出现在最后一步，且程序B和程序C必须相邻实施的概率为______．
正确答案
∵程序B和C实施时必须相邻，
∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果
又不考虑下序实施6道程序有A66=720种结果
∴满足程序A只能出现在最后一步，且程序B和程序C必须相邻实施的概率为
故答案为：
某商场举行周末有奖促销活动，凡在商场一次性购物满500元的顾客可获得一次抽奖机会．抽奖规则：自箱中一次摸出两个球，确定颜色后放回，奖金数如下表：
经测算该商场赢利为销售额的10%，已知箱中已放有2个红色球和5个蓝色球，为使本次抽奖活动不亏本，该商场应在箱中至少放入多少个其它颜色的球？（抽出任一颜色球的概率相同）．
正确答案
该商场应在箱中至少放入x个其它颜色的球，获得奖金数为ξ，
则ξ=0，100，150，200
P（ξ=0）=
P（ξ=150）=
∴Eξ=0×
=
由已知，Eξ≤500×10%=50，即
x2+13x-66≥0 （x∈Z*）
解得：x≥4
∴该商场应在箱中至少放入4个其它颜色的球．（12分）
在军训期间，某校学生进行实弹射击．
（Ⅰ）通过抽签，将编号为1～6的六名同学排到1～6号靶位，试求恰有3名同学所抽靶位号与其编号相同的概率；
（Ⅱ）此次军训实弹射击每人射击三次，总环数不少于28环的同学可获得射击标兵称号．已知某同学击中10环、9环、8环的概率分别为0.1、0.2、0.2，求该同学能获得射击标兵称号的概率．
正确答案
（Ⅰ）设恰有3名同学所抽靶位号与其号码相同的事件为A，则事件A所包含的基本事件的种数为2C63，而六名同学通过抽签排到1～6号靶位的排法种数为A66．
由于每位同学通过抽签排到某个靶位是等可能的，所以P（A）=
答：恰有3名同学所抽靶位号与其号码相同的概率为
（Ⅱ）设该同学恰好击中28环、29环、30环的事件分别为B，C，D，他能获得射击标兵称号的事件为E，则事件B，C，D彼此互斥．
∵P（B）=3×（0.1）2×0.2+3×0.1×（0.2）2=0.018，
P（C）=3×（0.1）2×0.2=0.006，
P（D）=（0.1）3=0.001，
∴P（E）=P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D）=0.018+0.006+0.001=0.025．
答：该同学能获得射击标兵称号的概率为0.025．
已知集合A={-2，0，1，3}，在平面直角坐标系中，点M的坐标（x，y）满足x∈A，y∈A．
（Ⅰ）请列出点M的所有坐标；
（Ⅱ）求点M不在y轴上的概率；
（Ⅲ）求点M正好落在区域
正确答案
（Ⅰ）根据题意，符合条件的点M有：（-2，-2）、（-2，0）、（-2，1）、（-2，3）、（0，-2）、（0，0）、（0，1）、（0，3）、（1，-2）、（1，0）、（1，1）、（1，3）、（3，-2）、（3，0）、（3，1）、（3，3）；共16个；
（Ⅱ）其中在y轴上，有（-2，0）、（0，0）、（1，0）、（3，0），共4个，
则不在y轴的点有16-4=12个，
点M不在y轴上的概率为
（Ⅲ）根据题意，分析可得，满足不等式
则点M正好落在区域
2013年夏季转会中，C•罗纳尔多、鲁尼、贝尔、苏亚雷斯四个顶级球员选择曼联、皇马、拜仁、阿森纳等四个俱乐部，其中恰有一个俱乐部没有球员选择的情况有______种．
正确答案
从4个球员中任意选出2个组成一组，看成“一个”，这样4个球员变成了3个，方法有
再把这“3个球员”分给4个俱乐部，有
再根据分步计数原理，所有的分配方案共有
故答案为 144．
抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为A，B．（注：正四面体是共有四个面，且每个面都是正三角形的空间几何体）
（1）求
（2）若在构成的所有不同直线Ax-By=0中任取一条，求能使直线的倾斜角小于45°的概率．
正确答案
（1）∵A，B∈{1，2，3，4}，
∴有序数对（A，B）所有可能的情形有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
共有16种． …（3分）
记“
则事件A所含的基本事件的有（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，3），（4，1），（4，2），（4，4），共8种．…（6分）
所以P(A)=
即
（2）在所有的直线Ax-By=0中，
x-y=0，2x-2y=0，3x-3y=0，4x-4y=0表示同一条直线，
x-2y=0，2x-4y=0表示同一条直线，
2x-y=0，4x-2y=0也表示同一条直线，
所以，所有不同直线Ax-By=0的条数为16-5=11，…（11分）
记“直线Ax-By=0的倾斜角小于45°”为事件B，
则满足事件B的直线有：x-2y=0，x-3y=0，x-4y=0，2x-3y=0，3x-4y=0，
即事件B所含的基本事件共有5种，…（14分）
所以P(B)=
10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是______．
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是从10张奖券中抽5张共有C105=252，
满足条件的事件的对立事件是没有人中奖，
没有人中奖共有C75=21种结果，
根据古典概型公式和对立事件的公式得到概率P=1-
故答案为：
从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概率是______．
正确答案
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从5个数字中有放回的抽取三个数字，共有53种结果，
满足条件的事件是三个数字完全不同，共有A53，
根据等可能事件的概率公式知P=
故答案为：
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
正确答案
设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c
（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为AB
P1，则P1=ab（1-c）+a（1-b）c+（1-a）bc+abc=ab+ac+bc-2abc
设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，
则P2=
（2）P1-P2=（ab+ac+bc-2abc）-（
=
=
∴P1＞P2即用方案一的概率大于用方案二的概率．
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