- 概率
- 共7791题
从正方体的八个顶点中任取4个，其中4点恰能构成三棱锥的概率为______．
正确答案
从正方体的八个顶点中任取4个，所有的取法有
4点共面的有四点共面的取法有12种
∴4点恰能构成三棱锥的概率为1-
故答案为
有A，B，C三个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为a，b，c．把A，B，C和a，b，c分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用3条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如A与a相连），我们就称城市A是连对的，则这三个城市都连对的概率是______．
正确答案
由题意，一名旅游爱好者随机用3条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，则连接的方法为3×2×1=6种
其中三个城市都连对，只有一种方法，所以这三个城市都连对的概率是
故答案为：
某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站（首发站）乘车。假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的。约定用有序实数对（x，y）表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”。
（Ⅰ）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
（Ⅱ）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）甲、乙两人下车的所有可能的结果为：
(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)；
（Ⅱ）设甲、乙两人同在第3号车站下车的的事件为A，则
（Ⅲ）设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每 满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任…位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券，例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和。
(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量x的分布列和数学期望．
正确答案
解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C，
则
(1)若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域，
∴
即消费128元的顾客返券金额不低于30元的概率是
(2)由题意得，该顾客可转动转盘2次，
随机变量X的可能值为0，30，60，90，120，
所以，随机变量x的分布列为：
其数学期望为
设S是不等式x2-x-6≤0的解集，整数m，n∈S。
（1）记“使得m+n=0成立的有序数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（2）设ξ=m2，求ξ的分布列及其数学期望E（ξ）。
正确答案
解：（1）由x2-x-6≤0得-2≤x≤3，
即S={x|-2≤x≤3}
由于m，n∈Z，m，n∈S且m+n=0
所以A包含的基本事件为：
（-2，2），（2，-2），（-1，1），（1，-1），（0，0）。
（2）由于m的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，
所以ξ=m2的所有不同取值为0，1，4，9，
且有P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=4）=
P（ξ=9）=
故ξ的分布列为：
所以E（ξ）=
设S是不等式x2-x-6≤0的解集，整数m，n∈S。
（1）记“使得m+n=0成立的有序数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（2）设ξ=m2，求ξ的分布列及其数学期望E（ξ）。
正确答案
解：（1）由x2-x-6≤0得-2≤x≤3，
即S={x|-2≤x≤3}
由于m，n∈Z，m，n∈S且m+n=0
所以A包含的基本事件为：
（-2，2），（2，-2），（-1，1），（1，-1），（0，0）。
（2）由于m的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，
所以ξ=m2的所有不同取值为0，1，4，9，
且有P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=4）=
P（ξ=9）=
故ξ的分布列为：
所以E（ξ）=
设某城市有72000辆自行车，车号由00001开始编起，到72000号为止，随便观察一辆车，其车号的5个数码都不相同的概率是 ______．
正确答案
若第一个数为7，有2×8×7×6=672种可能；
若第一个数不为7，则有7×9×8×7×6=21168种可能；
所以其车号的5个数码都不相同共有672+21168=21840种可能，
所以其车号的5个数码都不相同的概率是P=
故答案为：0.303．
在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A={2，4，6}，则用语言叙述事件A对应的含义为（ ）。
正确答案
掷出的点数为偶数
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球。
（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
正确答案
解：（1）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）。
（2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）
事件A包含的基本事件数为3
由（1）可知，基本事件总数为8，
所以事件A的概率为
设平面向量
（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；
（Ⅱ）记“使得
正确答案
解：（I）有序数列（m，n）的所有可能结果为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个；
（Ⅱ）由
又基本事件的总数为16，故所求的概率为
（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（
（2）一个篮球运动员投篮一次得2分的概率为a，得3分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的期望为2，则
正确答案
（1）根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，
即在“至少出现一个3点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，
“至少出现一个3点”的情况数目为6×6×6-5×5×5=91，
“三个点数都不相同”则只有一个3点，共C31×5×4=60种，
故P（A|B）=
（2）由题意得2a+3b=2，
则
故答案为：
若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax-by=0与圆（x-1）2+（y-2）2=1相交的概率为______．
正确答案
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，
对应的面积是2×1=2，
满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，
即
∴3b≥4a，
在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，
∴要求的概率是
故答案为：
-个袋子内装着标有数字l，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，用X表牙诹出的3个小球中的最大数字．
（I）求一次取出的3个小球中的数字互不相同的概率；
（II）求随机变量X的分布列和数学期望：
（III）若按X的5倍计分，求一次取出的3个小球计分不小于20的概率．
正确答案
（I）记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P（A）=
（II）由题意X有可能的取值为：2，3，4，5．
P（X=2）=
P（X=3）=
P（X=4）=
P（X=5）=
所以随机变量X的概率分布为
因此X的数学期望为EX=2×
（Ⅲ）“一次取球所得计分不小于20分”的事件记为B，则
P（B）=P（X=4）+P（X=5）=
已知双曲线C：
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值。
正确答案
解：（1）设
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0，
点
它们的乘积是
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数。
（2）设P的坐标为（x，y），
则
∵
∴当
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米
（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率;
（II）从这15天的数据中任取三天数据，记
（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
正确答案
解：（Ⅰ）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
（Ⅱ）依据条件，
其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，
其分布列为：
（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
∴Eη=360× 
∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级
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