- 概率
- 共7791题
采用系统抽样方法，从121人中先去掉一个人，再从剩下的人中抽取一个容量为12的样本，则每人被抽取到的概率为______．
正确答案
由已知中总体容量为121，
样本容量为12
则每个个体被抽到的概率P=
故答案为
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2×
P（B1）=2×
P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）
=
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，
P（ξ=0）=（
P（ξ=1）=C31×
P（ξ=2）=C32×（
P（ξ=3）=（
∴ξ的分布列为
∴数学期望Eξ=3×
12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门，
（1）求此3名男性被分别分到不同部门的概率；
（2）求此3名男性被分到同一部门的概率；
（3）若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率．
正确答案
（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是把12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门共有C124C84C44种结果，
而满足条件的3名男性被分别分到不同部门共有C93C63C33A33结果，
∴3名男性被分别分到不同部门的概率P=
（2）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是把12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门共有C124C84C44种结果，
而3名男性被分到同一部门共有C94C54种结果，
∴3名男性被分到同一部门的概率P=
（3）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是把12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门共有C124C84C44种结果，
满足条件的事件是有一男性被分到指定部门，其他2人被分到其他不同部门共有C21C93C63C33，
∴有一男性被分到指定部门其他2人被分到其他不同部门的概率P=
已知参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．
（1）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；
（2）记1号，2号射箭运动员，射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3…，10）．
根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：
①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率；
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．
正确答案
（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是把4名运动员安排到4个位置，
从4名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有C41种方法，
另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种，
∴恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为P=
（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中8环的概率为
P=（1-0.2）（1-0.32）=0.544
∴至少有一人命中8环的概率为p=1-0.544=0.456
②∵Eξ1=4×0.06+5×0.04+6×0.06+7×0.3+8×0.2+9×0.3+10×0.04=7.6
Eξ2=4×0.04+5×0.05+6×0.05+7×0.2+8×0.32+9×0.32+10×0.02=7.75
所以2号射箭运动员的射箭水平高
在闭区间[0，2]上任取两个实数，则它不大于1的概率是 ______．
正确答案
由题意知，本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从[0，2]上任取一个数字，对应的区间的长度是2，
满足条件的事件是不大于1，对应的区间长度是1，
根据等可能事件的概率公式得到P=
故答案为：
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2×
P（B1）=2×
P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）
=
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，
P（ξ=0）=（
P（ξ=1）=C31×
P（ξ=2）=C32×（
P（ξ=3）=（
∴ξ的分布列为
∴数学期望Eξ=3×
袋内有大小形状相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，其中只有一个黑球的概率是______．（用分数表示结果）
正确答案
由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件数是C73=35种结果，
满足条件的事件是其中有一个黑球，共有C42C31=18种结果，
∴从中摸出三个球，其中有一个黑球的概率是
故答案为：
在甲、乙两个盒子里分别装有标号为1、2、3、4的四个小球，现从甲、乙两个盒子里各取出1个小球，每个小球被取出的可能性相等．
（1）求取出的两个小球上标号为相邻整数的概率；
（2）求取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率；
（3）求取出的两个小球上标号之和大于5整除的概率．
正确答案
甲、乙两个盒子里各取出1个小球计为（X，Y）则基本事件
共有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
总数为16种．
（1）其中取出的两个小球上标号为相邻整数的基本事件有：
（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6种
故取出的两个小球上标号为相邻整数的概率P=
（2）其中取出的两个小球上标号之和能被3整除的基本事件有：
（1，2），（2，1），（2，4），（3，3），（4，2）共5种
故取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率为
（3）其中取出的两个小球上标号之和大于5的基本事件有：
（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种
故取出的两个小球上标号之和大于5的概率P=
口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率．
正确答案
把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件A，则P(A)=
故答案为
在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．
（I）求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
（II）求笼内至少剩下5只果蝇的概率．
正确答案
设笼内恰好剩下k只果蝇的事件为Ak（k=0，1，2、3、4、5，6）．
（I）笼内恰好剩下1只果蝇即第7只飞出的是苍蝇，
而前6只飞出的蝇子中有1只苍蝇、5只果蝇；
基本事件有A87种，它们是等可能的，
其中目标事件有C21C65A66种，
∴P（A1）=
（II）笼内至少剩下5只果蝇为事件A5+A6，
P（A5）=
P(A6)=
又事件A5、A6互斥，
∴P（A5+A6）=P（A5）+P（A6）=
即笼内恰好剩下1只果蝇的概率为
如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量．
（1）设选取的三条网线由A到B可通过的信息量为x，当x≥6时，才能保证信息畅通，求信息畅通的概率．
（2）求选取的三条网线可通过信息总量ξ的数学期望．
正确答案
（1）∵1+1+4=1+2+3=6，
∴P（x=6）=
∵1+2+4=2+2+3=7，
∴P（x=7）=
∴P（x=8）=
∴P（x=9）=
∴线路信息畅通的概率是
（2）线路可通过的信息量x，x=4，5，6，7，8，9
∵1+1+2=4，P（x=4）=
∵1+1+3=1+2+2=5，P（x=5）=
∴线路通过信息量的数学期望=4×
有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到P(n)=
正确答案
由题意知：本公用电话亭每次不超过3人正在使用电话或等待使用，
∴“有0、1、2、3个人正在使用电话或等待使用“是必然事件，
∴P（0）+P（1）+P（2）+P（3）=1，
∵P（1）=
P（2）=
P（3）=
∴P（0）+
∴P（0）=
故答案为：
甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球，分别从两袋中取一个球，恰有一个红球的概率是______．
正确答案
从甲袋中取一个球，得到红球的概率是
从甲袋中取一个红球、从乙袋中取一个黄球 的概率等于 
从甲袋中取一个黄球、从乙袋中取一个红球的概率也等于 
故所求事件的概率为 2×
故答案为：
如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量．
（1）设选取的三条网线由A到B可通过的信息量为x，当x≥6时，才能保证信息畅通，求信息畅通的概率．
（2）求选取的三条网线可通过信息总量ξ的数学期望．
正确答案
（1）∵1+1+4=1+2+3=6，
∴P（x=6）=
∵1+2+4=2+2+3=7，
∴P（x=7）=
∴P（x=8）=
∴P（x=9）=
∴线路信息畅通的概率是
（2）线路可通过的信息量x，x=4，5，6，7，8，9
∵1+1+2=4，P（x=4）=
∵1+1+3=1+2+2=5，P（x=5）=
∴线路通过信息量的数学期望=4×
从1，2，3，…，9这九个数字中随机抽出数字，如依次抽取，抽后不放回，则抽到四个不同数字的概率是______；如依次抽取，抽后放回，则抽到四个不同数字的概率是______．
正确答案
从1，2，3，…，9这九个数字中随机抽出数字，依次抽取，
抽后不放回，则抽到四个不同数字是一个必然事件，
∴抽到不同数字的概率P=1，
如依次抽取，抽后放回，则抽到四个不同数字是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是94=6561，
满足条件抽到四个不同数字有9×8×7×6=3024
∴要求的概率是P=
故答案为：1，0.4601
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