- 概率
- 共7791题
已知随机事件A、B是互斥事件，若P（A）=0.25，P（B）=0.18，则P（A∪B）=______．
正确答案
因为事件A、B是互斥事件，若P（A）=0.25，P（B）=0.18
所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.25+0.18=0.43
故答案为0.43
杭州风景区有一家自行车租车公司，公司设有A，B，C三个营业站，顾客可以从任何一处营业站租车，并在任何一处营业站还车．根据统计发现租车处与还车处有如下的规律性：
1）在A站租车者有30%在A站还车，20%在B站还车，50%在C站还车；
2）在B站租车者有70%在A站还车，10%在B站还车，20%在C站还车；
3）在C站租车者有40%在A站还车，50%在B站还车，10%在C站还车．
记P（XY）表示“某车由X站租出还至Y站的概率”，P（XY）P（YZ）表示“某车由X站租出还至Y站，再由Y站还至Z站的概率”．按以上约定的规则，
（1）求P（CC）；
（2）求P（AC）P（CB）；
（3）设某辆自行车从A站租出，求此车归还至某站再次出租后，回到A站的概率P．
正确答案
（1）P（CC）表示在C站租车，然后在C站还车的概率，
由在C站租车者有40%在A站还车，50%在B站还车，10%在C站还车，
知P（CC）=0.1；（4分）
（2）P（AC）P（CB）表示某车由A站租出还至C站，再由C站还至B站的概率，
∴P（AC）P（CB）=0.5×0.5=0.25；（4分）
（3）p=p（AA）p（AA）+p（AB）p（BA）+p（AC）p（CA）=0.3×0.3+0.2×0.7+0.5×0.4=0.43．（6分）
某同学练习投篮，已知他每次投篮命中率为
（1）求在他第三次投篮后，首次把篮球投入篮框内的概率；
（2）若想使他投入篮球的概率达到0.99，则他至少需投多少次．（lg2=0.3）
正确答案
（1）由题意知每一次投篮是相互独立的，
他第三次投篮后，首次把篮球投入篮框内包括前三次都没有投中第四次投中，
得到概率是P=(
1
5
)3×
（2）设至少n次使得投入篮球的概率达到0.99
能够投入的对立事件是一次也不能投入
有1-0.2n≥0.99
∴0.2n≤0.01，
对不等式两边取常用对数，再系数化成1得到 n≥
∴n≥3
∴至少要射击3次，使靶子被击中的概率不低于0.99．
A、B二人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别是
求（1）两人都译出密码的概率．
（2）两人都译不出密码的概率．
（3）恰好有一人译出密码的概率．
（4）至多一个人译出密码的概率．
正确答案
记A为“A译出密码”，B为“B译出密码”
（1）P（AB）=P（A）P（B）=
（2）P（
（3）P=P(A
（4）P=1-P（AB）=1-
（理）某工厂的一位产品检验员在检验产品时，可能把正品错误地检验为次品，同样也会把次品错误地检验为正品．已知他把正品检验为次品的概率是0.02，把次品检验为正品的概率为0.01．现有3件正品和1件次品，则该检验员将这4件产品全部检验正确的概率是______（结果保留三位小数）．
正确答案
∵产品检验员把正品检验为次品的概率是0.02，把次品检验为正品的概率为0.01．
∴他把正品检验正确的概率为0.98，把次品检验正确的概率为0.99，
∴3件正品和1件次品全部检验正确的概率是0.98×0.98×0.98×0.99=0.932
故答案为0.932
一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这中型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是______．
正确答案
考虑反面简单些，至多2台机床需要工人照看的概率：1-C43•0.23•0.8-C44•0.24=1-0.0272=0.9728．
故答案为：0.9728
若事件A、B是对立事件，则P（A）+P（B）=______．
正确答案
若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，
再由概率的加法公式得P（A）+P（B）=1．
故答案为：1
某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培．现知垒市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；
（2）任选3名教师，记ξ为3人中选择不参加培训的人数，求ξ的分布列和期望．
正确答案
（1）任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A，“该教师选择计算机培训”为事件B，
由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.6，P（B）=0.75． …（1分）（1）
任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是
P1=P(A
（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是
P0=P(
因为每个人的选择是相互独立的，
所以3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布B（3，0.1），…（6分）
且P(ξ=k)=
即ξ的分布列是
…（10分）
所以，ξ的期望是Eξ=1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3． …（12分）
（或ξ的期望是Eξ=3×0.1=0.3．）
（文）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．
正确答案
记红队至少两名队员获胜为事件H，设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则
又由题意，P（D）=0.6，P（E）=0.5，P（F）=0.5
P（
红队至少两名队员获胜包括四种情况：
P（H）=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55．
同学小王参加甲、乙、丙三所学校的自主命题招生考试，其被录取的概率分别为
（Ⅰ）求小王没有被录取的概率；
（Ⅱ）求小王至少被两个学校录取的概率．
正确答案
（I）∵各学校是否录取他相互独立，
∴小王被几个学校录取是相互独立的，
小王没有被录取表示小王没有被三个学校中的任何一个录取，
∴小王没有被录取的概率是(1-
（II）小王至少被两个学校录取包括被两个学校录取和被三个学校录取，
共有四种情况，这四种情况之间的关系是互斥的，
∴P=
袋中有2个红球，3个白球，摸出一个红球得5分，摸出一个白球得3分，现从中任意摸出2个球，求事件“所得分数不小于8分”的概率．
正确答案
从5个球中任意摸出2个共有10种不同的结果．
记从5个球中任取2个，其中恰有1个红球为事件A1，恰有2个红球为事件A2，
恰有1个红球或恰有2个红球为事件A，
则事件A发生的概率，即为“所得分数不小于8分”的概率
P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=
已知A，B是对立事件，若P(A)=
正确答案
已知A，B是对立事件，若P(A)=
故答案为 
甲、乙、丙三人独立参加入学考试合格的概率分别为
求：①三人中恰有两人合格的概率；
②三人中至少有一人合格的概率．
③合格人数ξ的数学期望．
正确答案
（1）由题意知本题是一个相互独立事件，并且是研究同时发生的概率．
三个人中恰有2个合格，包括三种情况即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且这三种情况是互斥的，
所以三人中恰有两人合格的概率 
所以三人中恰有两人合格的概率为
（2）因为事件“三人中至少有一人合格”与事件“三人都没有合格”是对立事件，
所以它们的概率之和为1．
因为三人都没有合格的概率为：
所以三人中至少有一人合格的概率为
（3）由题意可得：合格人数ξ可能取的值为：0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=
P（ξ=2）=
所以合格人数ξ的期望为：E（ξ）=0×
俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加省举行的数学团体竞赛，对于其中一题，他们各自解出的概率分别是
正确答案
由题意，三位同学都未解出的概率为(1-
∴发扬团队精神，此题能解出的概率是1-
故答案为：
甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ______，三人中至少有一人没有达标的概率是 ______．
正确答案
设甲、乙、丙三人达标为依次为事件A、B、C，三个事件相互独立，且则P（A）=0.8，P（B）=0.6，P（C）=0.5，
三人均达标，即ABC同时发生，故其概率为P1=0.8×0.6×0.5=0.24，
三人中至少有一人没有达标，其对立事件为三人全部达标；
由互为对立事件的概率性质，可得三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76；
故答案为0.24；0.76．
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