- 概率
- 共7791题
抛掷两颗骰子，计算：
（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率，
（2）事件“点数之和小于7”的概率，
（3）事件“点数之和等于或大于11”的概率．
正确答案
（1）易得每个骰子掷一次都有6种情况，那么共有6×6=36种可能，
点数之和为7的有（3，4）；（2，5）；（1，6）；（4，3）；（5，2）；（6，1），共6种，
所以，所求的概率是 
（2）事件“点数之和小于7”的基本事件有：（1，1）；（2，1）；（1，2）；（1，3）；（3，1）；（1，4）；（4，1）；
（1，5）；（5，1）；（2，2）；（2，3）；（3，2）；（2，4）；（4，2）；（3，3），共计15个，
而所有的基本事件共有36个，
故事件“点数之和小于7”的概率为 
（3）事件“点数之和等于或大于11”的基本事件有：（5，6）；（6，5）；（6，6），共计3个，
而所有的基本事件共有36个，
故事件“点数之和等于或大于11”的概率为 
一个箱子内有9张票，其号码分别为1，2，3，…，9，从中任取2张，其号码至少有1个为奇数的概率为______．
正确答案
这是一个古典概型
∵从箱子内9张票中任取2张有C92=36种不同的取法，
而取得两张都是偶数有C42=6种方法，
由对立事件公式
∴P=1-
故答案为：
从54张扑克牌中抽出一张，抽到的扑克牌为梅花的概率为______，抽到的扑克牌为K的条件下恰好是梅花的概率为______．
正确答案
一副扑克牌共有54张，其中梅花牌有13张，扑克牌为K共有4张，
故从54张扑克牌中抽出一张，抽到的扑克牌为梅花的概率为 
故答案为 
一个长方体的底面是边长为5的正方形，高为8，各面均涂满油漆．现将它锯成200个边长为1的小正方体，若将这些小正方体充分搅拌均匀，任取一个，各面均未涂色的概率为______．
正确答案
由于长方体的底面是边长为5的正方形，高为8，
将它锯成200个边长为1的小正方体，
则这些小正方体中各面均未涂色的有（5-2）2•（8-2）=54个
则将这些小正方体充分搅拌均匀，任取一个，各面均未涂色的概率P=
故答案为：
若将
正确答案
略
投掷两颗骰子．
（1）求掷得的两个点中不大的点数为3的概率；
（2）求投掷得的两个点数之和恰好是一个整数的平方的概率．
正确答案
抛掷两颗骰子，所有可能给的结果有：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
共36种
（1）两个点中不大的点数为3的可能有（3，3），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（3，6），（6，3）共7种，
∴所求概率p=
（2）依题意所掷的两个点数之和是一个平方数，则此点数之和只能是4或9．
当a=4时，有三种情况（1，3），（3，1），（2，2）
当a=9时，有四种情况（3，6），（6，3），（4，5），（5，4）
∴所求概率P=
已知集合A={x|x2-7x+6≤0，x∈N*}，集合B={x||x-3|≤3，x∈N*}，集合M={（x，y）|x∈A，y∈B}
（1）求从集合M中任取一个元素是（3，5）的概率；
（2）从集合M中任取一个元素，求x+y≥10的概率；
正确答案
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是集合M={（x，y）|x∈A，y∈B}
∵A={x|x2-7x+6≤0}={x|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}
B={x|0≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}
∴基本事件数是36，
满足条件的事件是从集合M中任取一个元素是（3，5），个数是1，
∴从集合M中任取一个元素是（3，5）的概率
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是集合M中任取一个元素共有36 种结果，
满足条件的事件是x+y≥10，共有（4，6）（6，4）（5，5）（5，6）（6，5）（6，6）
有6个，
∴概率是
有5张卡片，上面分别标有数字0，1，2，3，4．求：
（Ⅰ）从中任取二张卡片，二张卡片上的数字之和等于5的概率；
（Ⅱ）从中任取2次卡片，每次取1张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于5的概率．
正确答案
（Ⅰ）从5张卡片中，任取两张卡片，其一切可能的结果组成的基本事件空间为
Ω={（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，共有10个基本事件，且这10个基本事件发生的可能性相同．…（2分）
记“两张卡片上的数字之和等于5”为事件A．
A={（1，4），（2，3）}，共有2个基本事件．…（4分）
所以P（A）=
（Ⅱ）从5张卡片中，有放回地抽取两次卡片，其一切可能的结果组成的基本事件空间为
Ω={（x，y）|x∈N，y∈N，0≤x≤4，0≤y≤4}，共有25个基本事件．…（8分）
记“两次取出的卡片上的数字之和恰好等于5”为事件B．
B={（1，4），（4，1），（3，2），（2，3）}，，共有4个基本事件．…（10分）
则P（B）=
所以，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于5的概率为
在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为______．（结果用最简分数表示）
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C302=435种结果，
满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，
它的对立事件是没有过期的，共有C272=351种结果，
根据对立事件和古典概型的概率公式得到P=1-
故答案为：
为迎接三个代表团参加某项活动，我市共准备了四个宾馆以供各代表团入住，假定每个代表团可入住任一宾馆，且入住各个宾馆是等可能的，则三个代表团恰好分住其中三个不同宾馆的概率为____________．
正确答案
略
把一根长度为7的铁丝截成3段．
（Ⅰ）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；
（Ⅱ）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．
正确答案
（Ⅰ）所有的“三段铁丝的长度”的情况共有：“1，1，5”、“1，2，4”、“1，3，3”、
“2，2，3”，共计4种．
其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”（3分）
则所求的概率是 
（Ⅱ）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x，第二段为y，则第三段为7-x-y．
所以
∴能构成三角形的概率为 
对某校高二年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图（如图）：
（Ⅰ）请写出表中M，m，n，p及图中a的值；
（Ⅱ）请根据频率分布直方图估计这M名学生参加社区服务的平均次数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求恰有一人参加社区服务次数落在区间M内的概率．
正确答案
（Ⅰ）由分组[15，20）内的频数是26，频率是0.65知，
因为频数之和为40，所以10+26+3+m=40，m=1，n=
因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以a=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得分组[10，15）内的频率为0.25，分组[15，20）内的频率为0.65，分组[20，25）内的频率为0.075，分组[25，30）内的频率为0.025M名学生参加社区服务的平均次数为12.5×0.25+17.5×065+22.5×0075+
275×0025=3.125+11.375+1.6875+0.6875=16.875≈17
所以估计M名学生参加社区服务的平均次数为17；
（Ⅲ）这个样本中，参加社区服务次数不少于20次的学生共有m+1=4人
设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，在区间[25，30）内的人为b，
则任选2人共6种情况：
（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），
恰有一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的情况共有3种：（a1，b），（a2，b），（a3，b）
所以，恰有一人参加社区服务次数在区间M内的概率为p=
已知6件产品中有1级品3件，2级品2件，3级品1件．
（I）从这6件产品中随机抽取1件，求这件产品是1级品的概率；
（II）从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品都是1级品的概率．
正确答案
（Ⅰ）因为6件产品中有1级品3件，从中随机抽取1件，该产品是1级品的概率
P1=
（Ⅱ）记这6件产品中有1级品为a1，a2，a3，2级品为b1，b2，3级品为c．
从中随机抽取2件，可能得结果为
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），
（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），
（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），
（b1，b2），（b1，c），
（b2，c），共15种．…（8分）
其中2件产品都是1级品的结果为
（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），共3种．…（10分）
故所求概率P2=
以长方体ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率是______（用数字作答）．
正确答案
用长方体的八个顶点做三角形可做C83=56个，
从56个三角形中任取两个三角形共有C562=1540种不同的取法，
要使两个三角形共面，则两个三角形要在同一个长方体的表面或对角面上有12×C42=72，
∴P=
故答案为：
某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；
（2）若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
正确答案
（1）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×（0.005+0.01）=0.85．
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人；
（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．
所以所求概率为P（M）=
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