- 概率
- 共7791题
浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：
赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．
（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；
（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．
正确答案
（I）甲班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，75，75，76，78，82，82，86，87，88，90．
82和75出现了2次，出现的次数最多，故众数是82和75，
从小到大排列最中间的两个数是76，78，则中位数是77．
最大数为90，最小值为65，故极差为25
乙班的大众评审的支持票数：67，67，68，69，73，74，76，81，82，84，86，87，88，90，91，95，95．
67和95出现了2次，出现的次数最多，故众数是67和95，
从小到大排列最中间的数是82，则中位数是82．
最大数为95，最小值为67，故极差为28
（II）共有5名选手进入决赛，其中有两名拥有“优先挑战权”．
所有的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
符合题意的基本事件有（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5）共6种，
故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P=
大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是______．
正确答案
从白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取2次，一共有4种不同的结果，列举如下：
（白、白）、（白、黑）、（黑、白）、（黑、黑）
记“摸取的2个球均为白色球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为：（白、白），
即A包含的基本事件数为1，基本事件总数为4，
所以事件A的概率为
故答案为：
设正四面体的四个顶点是A，B，C，D各棱长均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，则它爬了5米之后恰好再次位于顶点A的概率是______（结果用分数表示）．
正确答案
小虫从点A出发，一共分第5步走，可以确定下来是小虫最后一步必须回到A，那么第四步就不能是走回A．
所以，第三步成为关键，第三部分两种情况，①回到A点，②不回A点．
在①情况下，小虫第一步有3种选择，由于第三步为了回到A，则第二步只能有2种选择，
到第四步时，因为从A出发，又有3种选择，所以，此时共有 3×2×1×3×1=18种可能．
在②情况下，第二步的走法又分为③回A点或者④不回A点的情况．
因此在③情况下，共有3×1×3×2×1=18种可能，在④情况下，共有3×2×2×2×1=24种可能．
所以，第五步回到A总共有18+18+24=60种可能，
而小虫总共有3×3×3×3×3=243种选择，概率为 
故答案为 
一个袋子里装有编号为1，2，3，4，5的5个大小形状均相同的小球，从中任取两个小球．
（I）请列举出所有可能的结果；
（II）求两球编号之差的绝对值小于2的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题意可得所有可能结果为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所有可能结果共10种，设两球编号之差的绝对值为X，
则X的值只能为1，包含（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）四种结果．…（8分）
故所求的概率为P=
故所求两球编号之差的绝对值小于2的概率为
设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是______．
正确答案
直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即 圆心到直线的距离小于或等于半径，即 
所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，
故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是 
故答案为 
把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a2，第二次出现的点数为b2（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若记事件A“焦点在x轴上的椭圆的方程为
（Ⅱ）若记事件B“离心率为2的双曲线的方程为
正确答案
（a，b）所有可能的情况共有6×6=36种（如下图）
（4分）
（Ⅰ）事件A表示“焦点在x轴上的椭圆”，方程
所以P(A)=
（Ⅱ）事件B表示“离心率为2的双曲线”，即e2=
所以
把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a2，第二次出现的点数为b2（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若记事件A“焦点在x轴上的椭圆的方程为
（Ⅱ）若记事件B“离心率为2的双曲线的方程为
正确答案
（a，b）所有可能的情况共有6×6=36种（如下图）
（4分）
（Ⅰ）事件A表示“焦点在x轴上的椭圆”，方程
所以P(A)=
（Ⅱ）事件B表示“离心率为2的双曲线”，即e2=
所以
从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为______．
正确答案
从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，共有
其中可以构成等差数列的情况有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）和（1，3，5）四种
故这3个数可以构成等差数列的概率为
故答案为：
现有编号分别为1，2，3，4，5的五个不同的物理题和编号分别为6，7，8，9的四个不同的化学题．甲同学从这九题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率相等．用符号（x，y）表示事件“抽到的两题的编号分别为x、y，且x＜y”．
（1）共有多少个基本事件？并列举出来．
（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．
正确答案
（1）共有 个等可能性的基本事件，列举如下：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，9）
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是上一问做出的结果，共有36种结果，
满足条件的事件是甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的，
从上面列举出的结果中找出符合条件的共有15个，
∴甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率是 
某班有50个同学，其中男生30人，女生20人，某次导师要抽五位同学打扫环境，依性别按人数作分层抽样，则班上的男同学甲被抽中的概率是______．
正确答案
由题意可知抽5人中，3名男生，2名女生
从30人中抽取3人，每人被抽到的概率相等，都为
班上的男同学甲被抽中的概率为
故答案为：
一颗骰子的六面分别标有数字1、2、3、4、5、6，任意掷两次，朝上一面的数字之和等于5的概率为______．
正确答案
列表得：
∵共有36种等可能的结果，向上的两个面上的数字之和为5的有4种情况，
∴掷两次骰子，其朝上面上的两个数字之和为5的概率是：
故答案为
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
正确答案
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为
从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=
所以
故答案为8．
先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率等于______．
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是有放回地随机抽取2个球，抽到的2个球的标号之和共有4×4=16种结果，
满足条件的事件是抽到的2个球的标号之和不大于5，可以列举出所有的事件，
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（4，1）共有10种结果，
∴抽到的2个球的标号之和不大于5的概率是P=
故答案为：
已知直线l1：x-2y-1=0，直线l2：ax-by-1=0，其中a，b{1，2，3，4，5，6}．则直线l1∩l2=∅的概率为______．
正确答案
∵a，b{1，2，3，4，5，6}，
∴a，b各有6种取法，
∴总事件数是36，
而满足条件的只有两组数a=2，b=4；a=3，b=6．
∴P=
故答案为：
某厂生产的8件产品中，有6件正品，2件次品，正品与次品在外观上没有区别．从这8件产品中任意抽检2件，计算：
（1）2件都是正品的概率；
（2）如果抽检的2件产品中有次品，则这一批产品将被退货，求这批产品被退货的概率．
正确答案
从8件产品中，抽取2件的概率有C82=
（1）其中两件都是正品的基本事件有：C62=15种
故2件都是正品的概率P=
（2）∵“抽检的2件产品中有次品”与“2件都是正品”为对立事件
故抽检的2件产品中有次品的概率P=1-
即这批产品被退货的概率为
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