- 概率
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为预防H1N1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．
（I）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？
（II）已知b≥465，c≥30，求通过测试的概率．
正确答案
（I）∵
∵b+c=2000-673-77-660-90=500，…（4分）
∴应在C组抽取样个数是360×
（II）∵b+c=500，b≥465，c≥30，∴（b，c）的可能是
（465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30），…（8分）
若测试没有通过，则77+90+c＞2000×（1-90%）=200，c＞33，
（b，c）的可能性是（465，35），（466，34），
通过测试的概率是1-
某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
按学历状况用分层抽样的方法在35～55岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率．
正确答案
由分层抽样的规律可知：在35～55岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，
学历为研究生的人数为20×
从中任意抽取2人所有的基本事件为：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，
{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}{B1，B3}{B2，B3}共10个，
从中任意抽取2人，至少1人的学历为研究生，所包含的基本事件为：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，
{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个，
所以从中任意抽取2人，至少1人的学历为研究生的概率为：
某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36人、72人、54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有3人．
（I）分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；
（Ⅱ）用Ai（i=1，2…）表示样本中一年级的志愿者，ai（i=1，2，…）表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人，①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况，②抽取的二人在同一年级的概率．
正确答案
（Ⅰ）依题意，分层抽样的抽样比为
∴在一年级抽取的人数为36×
在二年级抽取的人数为72×
所以一、二年级志愿者的人数分别为2人和4人；
（Ⅱ）①用A1，A2表示样本中一年级的2名志愿者，用a1，a2，a3，a4表示样本中二年级的4名志愿者．
则抽取二人的情况为A1A2，A1a1，A1a2，A1a3，A1a4，A2a1，A2a2，A2a3，A2a4，a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4共15种．
②抽取的二人在同一年级的情况是A1A2，a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4共7种．
∵每一种情况发生的可能性都是等可能的，
∴抽取的二人是同一年级的概率为
某公司生产A、B两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：
按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A类20个．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在B类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率．
正确答案
（Ⅰ）由每个个体被抽到的概率都相等，可得 
解得x=200． …（4分）
（Ⅱ）抽取容量为6的样本，由于优等品所占的比例为
则抽出的产品中，优等品为 6×
从样本中任意取2个，所有的取法种数为 
故没有优等品的概率为 
所以至少有一个优等品的概率是 1-
某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．
（I）求三个社团分别抽取了多少同学；
（Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
正确答案
（I）设出抽样比为x，则“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：
320x，240x，200x
∵从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人
∴320x-240x=2
解得x=
故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：8人，6人，5人
（II）由（I）知，从“剪纸”社团抽取的同学共有6人，其中有两名女生，
则从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，共有
其中至少有1名女同学被选为监督职务的情况有
故至少有1名女同学被选为监督职务的概率P=
下表为初三某班被录取高一级学校的统计表：
(1)完成表格．
(2)P(录取重点中学的学生)= ； P(录取普通中学的学生)= ；
P(录取的女生)= ．
正确答案
⑴34，17，3；⑵
（1）第四行三个格的答案依次为34，17，3，第5列三个格的答案依次为26，28，54
（2）
若5把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为
正确答案
0.7
此题考查古典型概率的计算；总的情况有
从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________.
正确答案
解一：任取3个球有C种结果，编号之和为奇数的结果数为C
解二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为
由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
(1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少?
正确答案
（1）0.56 （2）0.74
⑴设事件“有
⑵
在10000张有奖明信片中，设有一等奖5个，二等奖10个，三等奖l00个，从中随意买l张．(1)P(获一等奖)= ，P(获二等奖)= ，P(获三等奖)= ．
(2)P(中奖)= ，P(不中奖)= ．
正确答案
（1）
根据古典概率计算公式，直接计算得答案.
某校为了更好地落实新课改，增加研究性学习的有效性，用分层抽样的方法从其中A、B、C三个学习小组中，抽取若干人进行调研，有关数据见下表（单位：人）
（Ⅰ）求表中x，y的值
（Ⅱ）若从B、C学习小组抽取的人中选2人作感想发言，求这2人都来自C学习小组的概率．
正确答案
（I）由题意可得 
（II）记从B学习小组抽取的2人为b1，b2，从C学习小组抽取的3人为c1，c2，c3，则从B、C学习小组抽取的5人中选2人作感想发言的基本事件有：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（ c1，c2），（ c1，c3），（ c2，c3）共10种．
设选中的2人都来自C学习小组的事件为X，则X包含的基本事件有（ c1，c2），（ c1，c3），（ c2，c3）共3种．
因此 P(X)=
故选中的2人都来自C学习小组的概率为
一工厂生产甲，乙，丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml杯子的概率．
正确答案
（1）．设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个，在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得，
则100-40-25=35，所以，
故z=2500----------（6分）
（2）设所抽样本中有m个500ml杯子，
因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，
所以
也就是抽取了2个500ml杯子，3个700ml杯子，
分别记作S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取2个的所有基本事件为
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）
共10个，其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），所以从中任取2个，
至少有1个500ml杯子的概率为
公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于2011年4月1日起正式施行．酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．
依据上述材料回答下列问题：
（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；
（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率． （酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a，b，c，d表示）
正确答案
（Ⅰ）检查的总数为200，
由表可知，酒后违法驾车的人数为6人，
则违法驾车发生的频率为
酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为
（Ⅱ）设酒后驾车的4人分别为A、B、C、D；醉酒驾车的2人分别为a、b，
则从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），
（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），
（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）；共有15个．
设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E，
则事件E含有9个结果：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）．
则P(E)=
由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题意得
所以n=100
（Ⅱ）设所选取的人中，有m人20岁以下，则
也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，
则从中任取2人的所有基本事件为 （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个．
其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2）
∴从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为
某单位有年轻职工21人，中年职工14人，老年职工7人．现采用分层抽样方法从这些职工中选6人进行健康调查．若从选取的6人中随机选2人做进一步的调查，则选取的2人均为年轻人的概率是______．
正确答案
每个个体被抽到的概率等于
故选取的2人均为年轻人的取法有
从而求得选取的2人均为年轻人的概率是 
故答案为 
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