- 概率
- 共7791题
某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．
（I）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（II）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
正确答案
（I）∵第3、4、5组共有60名学生，
∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：
第4组：
第5组：
∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
（II）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62=15种
满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有C21C41+1=9种结果，
∴至少有一位同学入选的概率为
城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：
（1）求这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
正确答案
（1）
（2）候车时间少于10分钟的概率为
所以候车时间少于10分钟的人数为60×
（3）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．
从6人中任选两人有包含以下15个基本事件：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），
（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），
（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），
----------------（10分）
其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为
继“三鹿奶粉”，“瘦肉精”，“地沟油”等事件的发生之后，食品安全问题屡屡发生，引起了国务院的高度重视．为了加强食品的安全，某食品安检部门调查一个海水养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：kg），并将所得数据进行统计得下表．若规定超过正常生长的速度为1.0～1.2kg/年的比重超过15%，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．
（Ⅰ）根据数据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题？
（Ⅱ）上面捕捞的100条鱼中间，从重量在[1.00，1.05）和[[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼重量[1.00，1.05）和[[1.25，1.30）各有1条的概率．
正确答案
（Ⅰ）捕捞的100条鱼中间，数据落在[1.20，1.25）的概率约为P1=
数据落在[1.25，1.30）的概率约为P1=
所以数据落在[1.20，1.30）中的概率约为P=P1+P2=0.11，（4分）
由于0.11×100%=11%＜15%，（5分）
故饲养的这批鱼没有问题．（6分）
（Ⅱ）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，
重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作：B1，B2，那么所有的可能有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共10种，（9分）
而恰好所取得鱼重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）各有1条有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}共6种，（11分）
所以恰好所取得鱼重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）各有1条的概率为p2=
某校高三的某次数学测试中，对其中100名学生的成绩进行分析，按成绩分组，得到的频率分布表如下：
（1）求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（2）为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛，学校决定在成绩较高的第3、4、5组中分层抽样取5名学生，则第4、5组每组各抽取多少名学生？
（3）为了了解学生的学习情况，学校又在这5名学生当中随机抽取2名进行访谈，求第4组中至少有一名学生被抽到的概率是多少？
正确答案
（1）①处的数据为：15÷100=0.15
②处的数据为：0.35×100=35
（2）第三四五组中共有学生20+20+10=50人
故抽样比k=
故应从第四组中抽取20×
应从第五组中抽取10×
（3）记“第4组中至少有一名学生被抽到”为事件A
从“这5名学生当中随机抽取2名进行访谈”共有
“第4组中至少有一名学生被抽到”包含
故P(A)=
为了保障生命安全，国家有关部门发布的《车辆驾驶人员血液呼气酒精含量值与检验》中规定：车辆驾驶人员血液酒精含量（单位：mg/l00m1）大于或者等于20，且小于80的为“饮酒驾车”，大于或者等于80的为“醉酒驾车”．某城市3月份的交通执法部门对200名车辆驾驶人员的血液酒精含量（单位：mg/l00ml ）进行测试，并根据测试的数据作了如下统计：
估计该城市3月份“饮酒驾车”发生的概率______．
正确答案
由图中表的数据，得x=200×0.02=4（或x=200-（162+18+10+6）=4），
y=
根据“饮酒驾车”的规定：表中可估计该城市3月份“饮酒驾车”发生的概率
P=0.09+0.05+0.03=0.17，
故答案为：0.17．
为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分．根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85，100]之间为优秀；在[75，85）之间为良好；在[65，75）之间为合格；在（0，60）之间，体能素质为不合格．
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下：
65，84，76，70，56，81，87，83，91，75，81，88，80，82，93，85，90，77，86，81，83，82，82，64，79，86，68，71，89，96．
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）现用分层抽样的方法在该校高一年级共900名学生中抽取6名学生，在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价．
正确答案
（1）频率分布表和频率分布直方图如下：
根据抽样，体能素质优秀的频率为（
计该校高一学生中体能素质为优秀的有 900×
（2）设在抽取的6名学生中任取2名，恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的事件为A，
则抽取的6名学生中体能素质为优秀的有6×
则所有的抽法共有
而事件A包含的基本事件有 2×4=8种，…（11分）
所以恰好抽到1名体能素质为优秀的学生的概率为P（A）=
（3）简单评价：①估计该校高一学生中体能素质为优秀有900×
体能素质为良好的有900×
体能素质为优秀或良好的共有300+420=720人，占总人数的
说明该校高一学生体能素质良好．
②估计该校高一学生中体能素质为不合格的有900×
体能素质仅为合格的有900×
体能素质为不合格或仅为合格的共有900×
说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参加体育锻炼．
某年某省有23万多文科考生参加高考，除去成绩为670分（含670分）以上的6人与成绩为350分（不含350分）以下的38390人，还有约19.4万文科考生的成绩集中在[350，670）内，其成绩的频率分布如下表所示：
（1）请估计该次高考成绩在[350，670）内文科考生的平均分（精确到0.1）；
（2）考生A填报志愿后，得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿．若该志愿计划录取2人，并在同分数考生中随机录取，求考生A被该志愿录取的概率．
（参考数据：610×0.061+570×0.154+530×0.193+490×0.183+450×0.161+410×0.133=443.93）
正确答案
（1）由所给的表格，估计该年广东省文科考生成绩在[350，670）内的平均分为
+450×0.161+410×0.133+370×0.108=488.44≈488.4（分）…（6分）
（2）设另外4名考生分别为b、c、d、e，则基本事件有：
（A，b），（A，c），（A，d），（A，e），（b，c），（b，d），（b，e），
（c，d），（c，e），（d，e）共10种．…（11分）
考生A被录取的事件有（A，b），（A，c），（A，d），（A，e），共4种，…（13分）
∴考生A被录取的概率是P=
答：该次高考成绩在[350，670）内文科考生的平均分约为488.4（分）；考生A被该志愿录取的概率为0.4．…（15分）
某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽査数据如下：
甲：102，101，99，98，103，98，99
乙：110，115，90.85，75，115，110
（1）画出这两组数据的茎叶图：
（2＞求出这两组数据的平均值和方差（用分数表示＞：并说明哪个车间的产品较稳定．
（3）从甲中任取一个数据X （x≥100），从乙中任取一个数据y （y≤100），求满足条件|x-y|≤20的概率．
正确答案
（1）∵甲：102，101，99，98，103，98，99
乙：110，115，90，85，75，115，110
∴茎叶图如下：
（2）这两组数据的平均数，
甲的平均数是
乙的平均数是
两组数据的平均数是相等的，
有茎叶图知甲的数据比较稳定，绝大部分分布在90与100左右，
而乙组数据比较分散，从茎叶图上可以看出甲的方差比较小，数据比较稳定．
即甲车间的比较稳定．
（3）由题意知本题是一个古典概型
试验发生包含的事件的所有情况（102，90）（102，85）（102，75）（101，90）
（101，85）（101，75）（103，90）（103，85）（103，75）共有9种结果，
不满足条件的事件是（102，75）（101，75）（103，75）共有3种结果，
∴满足条件的事件的概率是P=1-
为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；
（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
正确答案
（Ⅰ）由图表得：2.5×
所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．
（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60×
（Ⅲ）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为e，f，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．
所得基本事件共有15种，即（ac），（ab），（ad），（ae），（af），（bc），（bd），（be），（bf），（cd），（ce），（cf），（de），（df），（ef），
抽到的两人恰好来自不同组的事件共8种，分别是（ae），（af），（be），（bf），（ce），（cf），（df），（ef）．
其中事件A包含基本事件8种，由古典概型可得P(A)=
某地为了建立幸福指标体系，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）．
（1）求研究小组的总人数；
（2）若从研究小组的公务员和教师中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人来自公务员的概率．
正确答案
（1）依题意，
解得y=3，x=2（4分），
研究小组的总人数为2+3+4=9（人）（6分）．
（或4÷
（2）设研究小组中公务员为a1、a2，教师为b1、b2、b3，从中随机选2人，
不同的选取结果有：a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3、b1b2、b1b3、b2b3（8分），
共10种（9分），
其中恰好有1人来自公务员的结果有：a1b1、a1b2、a1b3、a2b1、a2b2、a2b3（10分），
共6种（11分），
所以恰好有1人来自公务员的概率为P=
为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，其平均纤维长度为25mm．用Xn（n=1，2，3，4，5，6）表示第n根棉花的纤维长度，且前5根棉花的纤维长度如下表：
（1）求X6及这6根棉花的标准差s；
（2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率．
正确答案
（1）由题意，
6根纤维的平均长度为25mm，有
其方差s2=
则s=7．
（2）根据题意，记至少有1根的长度在区间（20，25）内为事件A，则其对立事件
从这6根棉花中，随机选取2根用无序数组（Xi，Xj）（i，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，
可能出现的结果为（X1，X2），（X1，X3），（X1，X4），（X1，X5），（X1，X6），
（X2，X3），（X2，X4），（X2，X5），（X2，X6），（X3，X4），
（X3，X5），（X3，X6），（X4，X5），（X4，X6），（X5，X6），共15种；
2根的长度都不在区间（20，25）内的情况为
（X1，X2），（X1，X4），（X1，X6），（X2，X4），（X2，X6），（X4，X6），有6种；
2根的长度都不在区间（20，25）内概率P（
至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率为P（A）=1-
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到序号为6号或10号学生的概率．
正确答案
（1）∵全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为
∴我们可以计算出优秀人数为
（2）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．
事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、
（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个
∴P（A）=
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为9 0C时的种子发芽数．
正确答案
（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，从5组数据中选取2组数
据共有10种情况：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）
（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5），…（3分）
其中数据为12月份的日期数．每种情况都是可能出现的，
事件A包括的基本事件有6种．
∴P（A）=
∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是
（2）由数据，求得 
由公式，求得b=
∴y关于x的线性回归方程为
由此可以预报当温差为9 0C时的种子发芽数为19或20颗．…（12分）
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女生的概率．
（3）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出K2≈8.333，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？下面的临界值表供参考：
正确答案
（1）在喜欢打蓝球的学生中抽6人，则抽取比例为
∴男生应该抽取20×
（2）在上述抽取的6名学生中，女生的有2人，男生4人．女生2人记A，B；男生4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女生的概率概率为P=
（3）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的…．（12分）
为了解某班学生喜爱文学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调 查，得到了如下的列联表：
（I）是否有99.5%的把握认为“喜爱文学与性别“有关？说明你的理由；
（II）已知喜爱文学的10位男生中，A1，A1，A3还喜欢美术；B1，B2，B3还喜欢音乐，C1，C2还 喜欢体育．现在从喜欢美术、音乐、体育的8位男生中各选出1名进行其他方面的调查，求男生B1和C1不全被选中的概率．给出以下临界值表供参考：
（参考公式：K2=
正确答案
（I）∵K2=
∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
（II）从8位女生中各选出1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：
（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），
（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），
（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2），
基本事件的总数为6×3=18，
用M表示“B1，C1不全被选中”这一事件，
则其对立事件
由于
∴P（
∴由对立事件的概率公式得P（M）=1-P（
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