热门试卷

（Ⅰ）设甲乙两人考试合格分别为事件A、B，

则P（A）===，

P（B）===；

答：甲乙两人考试合格的概率分别为和；

（Ⅱ）因为事件A、B相互独立，

所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P（•）=P（）•P（）=（1-）（1-）=，

甲乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P（•）=1-=；

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．

投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为，则：

①若投掷一次能返回A点，则底面数字应为4，此时概率为P1=；

②若投掷两次能返回A点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果，其概率为P2=()2×3=；

③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果，

其概率为 P3=(

1

4

)3×3=；

④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为 P4=(

1

4

)4=；

则能返回A点的概率为：P=P1+P2+P3+P4=．

（1）     （2）见解析

本题是概率压轴题，难度大，文字多，考生不一定能够有时间去读懂，不仅如此还考查到了分类讨论思想，难度更高一层，但细细想来，它也就那回事．第（1）题该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息要从反面角度去思考，没有收到信息的概率是什么，由于A和B是相互独立，，没有收到信息的概率正好是，所以最后的结果就能求出；第（2）题考查的考点比较多，而且和都是变量，遇到变量就要做好讨论的准备，于是本题要从和两个角度考虑．当时，，；当时，整数满足，其中是和中的较小者，从而表示出，接着要根据题意找出不等关系：，化简分离出，而是否为整数，需要讨论，还需要考虑是否成立的问题，于是，接下来一方面需要讨论是否为整，另一方面要证明，详细的解答如下．

设事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A和B是相互独立的事件，则与 相互独立，

而

所以

因此，学生甲收到活动通知信息的概率为

．

当时，只能取，有

当，整数满足，其中是和中的较小者．“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为．

当时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为，则由乘法计数原理知：事件所含基本事件数为

此时

当，

化简解得

假如成立，

则当能被整除时，

，故在和处达到最大值；

则当不能被整除时，在处达最大值．（注：表示不超过的最大整数）．

下证：

因为，所以，

，故，显然．

因此．

点评：考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识．，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．

18．（1）∵前四个小长方形的面积和为0.02+0.04+0.12+0.2=0.38，设0.38+0.026×x=0.5，

解得x=4.6，∴中位数是124.6，

样本的平均数为85×0.02+95×0.04+105×0.12+115×0.2+125×0.26+135×0.2+145×0.1+155×0.06=124.4，

所以本次考试平均成绩为124.4．

（2）由统计图知，由图可知样本中成绩在100到130之间的学生有100×（0.12+0.2+0.26）=58人，样本容量为100，

得到样本中学生身高在100～130之间的频率为0.58．

用样本的频率来估计总体中学生身高在100～130之间的概率为0.58．

（1）将2名男同学和4名女同学分别编号为1，2，3，4，5，6，

（其中1，2是男同学，3，4，5，6是女同学），

该学院6名同学中有4名当选的情况有（1，2，3，4），（1，2，3，5），（1，2，3，6），（1，2，4，5），（1，2，4，6），（1，2，5，6），（1，3，4，5），（1，3，4，6），（1，3，5，6），（1，4，5，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6），（2，3，5，6），（2，4，5，6），（3，4，5，6），共15种，

当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有：（1，3，4，5），（1，3，4，6），（1，3，5，6），

（1，4，5，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6），（2，3，5，6），（2，4，5，6），共8种，

故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P（A）=．

（2）当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选（恰有1名男同学当选），

4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有（3，4，5，6），则其概率为P（B）=．

又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P（A）=，

故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P=+=．

（1）依题意得=，…（2分）

解得a=3．…（4分）

（2）从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果有：（88，89），（88，90），（88，91），（88，92），（89，90），

（89，91），（89，92），（90，91），（90，92），（91，92），共10种．     …（7分）

其中至多有一份得分在[80，90]之间的所有结果有：（88，91），（88，92），（89，91），（89，92），（90，91），

（90，92），（91，92），共计7种，…（10分）

所以在抽取的样品中，至多有一份得分在[80，90]之间的概率P=，…（11分）

答：在抽取的样品中，至多有一份得分在[80，90]之间的概率P=．…（12分）

（1）依题意得=，…（2分）

解得a=3．…（4分）

（2）从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果有：（88，89），（88，90），（88，91），（88，92），（89，90），

（89，91），（89，92），（90，91），（90，92），（91，92），共10种．     …（7分）

其中至多有一份得分在[80，90]之间的所有结果有：（88，91），（88，92），（89，91），（89，92），（90，91），

（90，92），（91，92），共计7种，…（10分）

所以在抽取的样品中，至多有一份得分在[80，90]之间的概率P=，…（11分）

答：在抽取的样品中，至多有一份得分在[80，90]之间的概率P=．…（12分）

将两骰子投掷一次，共有36种情况，向上的点数之和的不同值共11种．

（1）设事件A={两骰子向上的点数和为8}；

事件A1={两骰子向上的点数分别为4和4}；

事件A2={两骰子向上的点数分别为3和5}；

事件A3={两骰子向上的点数分别为2和6}，则A1与A2、A3互为互斥事件，且A=A1+A2+A3

故P(A)=P(A1+A2+A3)=++=，

即向上的点数之和是8的概率为；

（2）设事件S={两骰子向上的点数之和不小于8}；

事件A={两骰子向上的点数和为8}；

事件B={两骰子向上的点数和为9}；

事件C={两骰子向上的点数和为10}；

事件D={两骰子向上的点数和为11}；

事件E={两骰子向上的点数和为12}．

则A，B，C，D，E互为互斥事件，且S=A+B+C+D+E．

P（A）=，P（B）=，P（C）=，P（D）=，P（E）=，

故P（S）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）+P（E）=++++=．

即向上的点数之和不小于8的概率为．

（1）上述方程有实根的概率为；（2）上述方程有实根的概率为.

试题分析：（1）先将全部的基本事件以及问题中涉及事件所包含的基本事件列举出来，确定基本事件总数与问题中涉及事件所包含的基本事件的数目，然后利用古典概型的概率计算公式计算出相应事件的概率；（2）先利用方程有根这一条件转化为，从而确定、所满足的条件，然后综合，这些条件，将问题量化为平面区域的面积比的几何概型的概率来进行处理.

试题解析：设事件为“方程有实根”，

当，时，方程有实根的充要条件为.

（1）基本事件共个：

、、、、、、、、、、、，

其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．

事件中包含个基本事件，

事件发生的概率为；

（2）试验的全部结束所构成的区域为，

构成事件的区域为，

所以所求的概率为.

（I）被调查人答卷情况统计表：

（II）∵由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是，

用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数

×126+×105=42+63=105（人）

（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，

“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，

选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），

（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），

（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；

其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），

（2，5），（2，6），8种满足题意，

则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为．

（1）由题意可得 =，解得z=400．

（2）这5辆车中，舒适型的有 5×=2辆，标准型的有 5×=3辆．

从这5辆车中任取2辆，所有的取法有 =10种，至少有1辆舒适型轿车的取法有•+=7种，

∴至少有1辆舒适型轿车的概率为 ．

（1）

（2）

（1）由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法。

由不等式  …………3分

所以，于是所求概率为                           …………6分

（2）从6个球中任意取出2个球，共有15种等可能的方法，列举如下：

（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）

（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）                                                  …………8分

设第n号与第m号的两个球的重量相等，

则有

 …………10分

故所求概率为                                                                          …………12分

（1）中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5

所以中位数的估计值为162.5．

平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

则平均数的估计值为145×0.1+155×0.3+165×0.4+175×0.2=162，

（2）这20名学生中，身高在140-150之间的有2个，分别为A，B，身高在150-160之间的有6人，

从这8人中任选2个，有=28种选法，

两个身高都在140---150之间的选法有1种选法，

所以至少有一个人在150-160之间的选法有28-1=27，

故至少有一人的身高在150-160之间的概率为．