- 概率
- 共7791题
设x2+ax+b2=0是关于x的一元二次方程
（1）若a，b是分别从{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的数字，求方程有实根的概率．
（2）若a，b都是从区间[-1，1]中任取的一个数字，求方程有实根的概率．
正确答案
根据题意，方程x2+ax+b2=0有实根的充要条件为a2≥4b2（1）由题意，a，b是分别从{1，2，3，4}，{0，1，2}中任取的数字；
则a有4种取法，b有3种取法，共有12不同的情况，可以得到12个不同方程，
当a=1时，b=0，满足a2≥4b2，有1种情况满足方程有实根；
当a=2时，b=0、1，满足a2≥4b2，有2种情况满足方程有实根；
当a=3时，b=0，1；满足a2≥4b2，有2种情况满足方程有实根；
当a=4时，b=0、1、2，满足a2≥4b2，有3种情况满足方程有实根；
共有1+2+2+3=8种情况满足方程有实根，
∴p=
（2）由题意得：-1≤a≤1，-1≤b≤1，右图的正方形区域，
∵△=a2-4b2≥0，
∴（a+2b）（a-2b）≥0，即图中阴影区域，
由图可知p=
某厂生产篮球、足球、排球，三类球均有A、B两种型号，该厂某天的产量如下表（单位：个）：
在这天生产的6种不同类型的球中，按分层抽样的方法抽取20个作为样本，其中篮球有6个．
（1）求x的值；
（2）在所抽取6个篮球样本中，经检测它们的得分如下：
4 9.2 8.7 9.3 9.0 8.4
把这6个篮球的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率；
（3）在所抽取的足球样本中，从中任取2个，求至少有1个为A型足球的概率．
正确答案
（1）设该厂这天生产篮球、足球、排球的总数为n，由题意得：
所以n=1000…（3分）
∴x=n-120-180-100-200-300=100…（4分）
（2）样本的平等数为
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的数为9.2，8.7，9.3，9.0共4个数，
总个数为6．
所以该数与样本平均数之差的绝对值不0.3的概率为
（3）设A、B型足球抽取的个数分别为n1，n2；
由分层抽样的方法知：
即A、B型足球的个数分别为2，4…（10分）
又2个A型足球记作A1、A2，4个B型足球记作B1，B2，B3，B4．
则从中任取2个的所有基本事件为：
|A1，A2|，|A1，B1|，|A1，B2|，|A1，B3|，|A1，B4|，|A2，B1|，|A2，B2|，|A2，B3|，
|A2，B4|，|B1，B2|，|B1，B3|，|B1，B4|，|B2，B3|，|B2，B4|，|B3，B4|，共15个…（11分）
其中至少一个A型足球的基本事件有9个：|A1，A2|，|A1，B1|，|A1，B2|，|A1，B3|，
|A1，B4|，|A2，B1|，|A2，B2|，|A2，B3|，|A2，B4|，…（12分）
所以从中任取2个，至少有1个为A型足球的概率为
将一颗骰子先后抛掷两次，记下其向上的点数，试问：
（1）“点数之和为6”与“点数之和为8”的概率是否一样大？从中你能发现什么样的一般规律？（直接写出结论，不必证明）
（2）求至少出现一次5点或6点的概率．
正确答案
（1）本题的基本事件有36个，记“点数之和为6”为事件A，记“点数之和为8”为事件B，
事件A含有基本事件有5个：（1，5）、（5，1）、（2，4）、（4，2）、（3，3），
事件B含有基本事件有5个：（2，6）、（6，2）、（3，5）、（5，3）、（4，4），
∴P(A)=P(B)=
从中发现“点数之和为x”与“点数之和14-x”概率一样大．…（8分）
（2）记事件C：“至少出现一次5点或6点”，
则事件C含有基本事件有20个，∴P(C)=
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，连续取两次，求下列取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
（1）每次取出一个，取后不放回．
（2）每次取出一个，取后放回．
正确答案
（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，
其一切可能的结果组成的基本事件有6个，
即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），
（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则
P（A）=
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是每次取出一个，取后放回地连续取两次，
其一切可能的结果组成的基本事件有9个，
即（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），
（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）．
用B表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，
则P（B）=
从甲、乙两名学生的若干次数学成绩中随机抽取6次，制得成绩数据的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）根据茎叶图，求甲、乙两名学生的数学成绩的方差；
（Ⅱ）现从乙学生这6次数学成绩中随机抽取2次成绩，求这2次成绩至少有一次不低于85分的概率．
正确答案
（1）由样本数据得
由样本数据得s甲2=
s乙2=
乙学生比甲学生发挥更稳定．
（2）乙学生这6次数学成绩中，不低于85分的有3次，
随机抽取2次成绩有
其中2次成绩至少有一次不低于85分的有
∴这2次成绩至少有一次不低于85分的概率为
（文）同时抛掷两枚骰子，求向上的点数之和大于等于7的概率是多少？
正确答案
每一枚筛子都有6种结果，故所有的结果共有6×6=36种，
满足向上的点数之和大于等于7的基本事件有（2，6）、（3，5）、（3，6）、（x，x）、（x，5）、（x，6）、
（5，3）、（5，x）、（5，5）、（5，6）、（6，2）（6，3）、（6，x）、（6，5）、（6，6），共计55种，
由此求得向上的点数之和大于等于7的概率为 
口袋中有5个大小相同的小球，其中1个小球标有数字“3”，2个小球标有数字“2”，2个小球标有数字“1”，每次从中任取一个小球，取后不放回，连续抽取两次．
（I）求两次取出的小球所标数字不同的概率；
（II）记两次取出的小球所标数字之和为X，求事件“X≥4”的概率．
正确答案
记2个标有数字“2”得小球分别为2a，2b，2个标有数字“1”得小球分别为1a，1b，
列举可得总的取法有（1a，1b），（1b，1a），（1a，2a），（1a，2b），（1b，2a），
（1b，2b），（1a，3），（1b，3），（2a，1a），（2a，1b），（2b，1a），（2b，1b），
（2a，3），（2b，3），（2a，2b），（2b，2a），（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共20种
（I）两次取出的小球所标数字不同的取法有（1a，2a），（1a，2b），（1b，2a），（1b，2b），
（1a，3），（1b，3），（2a，1a），（2a，1b），（2b，1a），（2b，1b），（2a，3），（2b，3），
（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共16种，
所以两次取出的小球所标数字不同的概率为P1=
（II）两次取出的小球所标数字之和大于等于4的有（1a，3），（1b，3），（2a，3），
（2b，3），（2a，2b），（2b，2a），（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共10种，
所以概率为P2=
箱子中装有6张卡片，分别写有1到6这6个整数．从箱子中任意取出一张卡片，记下它的读数x，然后放回箱子，第二次再从箱子中取出一张卡片，记下它的读数y，试求：
（Ⅰ）x+y是5的倍数的概率；
（Ⅱ）x-y是3的倍数的概率；
（Ⅲ）x，y中至少有一个5或6的概率．
正确答案
（Ⅰ）所有的实数对（x，y）共有6×6=36个，满足x+y是5的倍数的实数对有（1，4）、（4，1）、（2，3）、
（3，2）、（5，5），（4，6）、（6，4）共有7个，
故x+y是5的倍数的概率等于
（Ⅱ）满足x-y是3的倍数的实数对有（4，1）、（5，2）、（6，3）、（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6），（1，4）、（2，5）、（3，6），共有12个，故x-y是3的倍数的概率等于
（Ⅲ） x，y中至少有一个5或6的实数对有（1，5）、（5，1）、（2，5）、（5，2）、（3，5）、（5，3）、
（4，5）、（5，4）、（5，5）（5，6）、（6，5）、（6，4）、（4，6）、（3，6）、（6，3）、（2，6）、
（6，2）、（1，6）、（6，1），（6，6）共有 20个，
故 x，y中至少有一个5或6的概率等于 
已知A、B两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球．
（Ⅰ）用有序数对（i，j）表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；
（Ⅱ）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此规则是否公平？请说明理由．
正确答案
（I）．甲、乙二人抽到的小球的所有情况为：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、
（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共16种不同情况．…（6分）
（Ⅱ）．甲抽到的小球的标号比乙大，有（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3），共6种情况，…（8分）
故甲胜的概率p1=
因为
某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加广州亚运会的服务工作．求：
（1）选出的2名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
（2）选出的2名志愿者中1名是获得书法比赛一等奖，另1名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．
正确答案
一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只合格品，2只不合格品．现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：
（Ⅰ）求第一次取到不合格品，且第二次取到的是合格品的概率；
（Ⅱ）求至少有一次取到不合格品的概率．
正确答案
令三只合格灯泡分别为a，b，c，两只不合格灯泡分别为e，f，从中取出两只灯泡，所有的取法有
ab，ac，ae，af，ba，bc，be，bf，ca，cb，ce，cf，ea，eb，ec，ef，fa，fb，fc，fe
总的取法共二十种
（I）第一次取到不合格品，且第二次取到的是合格品取法有6种，分别为ea，eb，ec，fa，fb，fc，故概率是
（II）事件“至少有一次取到不合格品”的对立事件是“取到的全是正品”，“取到的全是正品”包括了六种分别为ab，ac，ba，bc，ca，cb，故事件“至少有一次取到不合格品”取法有14种
至少有一次取到不合格品事件的概率是
（本小题12分）
在某次高三质检考试后，抽取了九位同学的数学成绩进行统计，下表是九位同学的选择题和填空题的得分情况：
选择题
40
55
50
45
50
40
45
60
40
填空题
12
16
12
16
12
8
12
8
（Ⅰ）若这九位同学填空题得分的平均分为
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记这九位同学的选择题得分组成的集合为
正确答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）所求概率是
本小题主要考查概率与统计等基础知识，考查运算求解能力，应用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分12分。
解：（I）由填空题得分的平均分为
（Ⅱ）
分别从集合
列15个值：
48，53，5
当同学甲的解答题的得分是
又选择题和填空题的得分之和要大于54分的共
某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品．
（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？
（2）质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格的概率多大？
正确答案
（1）在6听中随机抽出1听有6种方法，
其中在2听不合格产品中随机抽出1听有2种方法．
所以质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率P=
（2）设合格饮料为1，2，3，4，不合格饮料为5，6（6分）
则6听中选2听共有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共15种（8分）
有1听不合格的有（1，5）（1，6）（2，5）（2，6）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）共8种（9分）
有2听不合格的有（5，6）（10分）
所以所求概率为
甲乙两人做掷硬币游戏，甲用1枚硬币掷3次，记正面向上的次数为m，乙用1枚硬币掷2次，记正面向上的次数为n．
（1）填写下表（P为相应的概率）
（2）若规定m＞n时，甲获胜的概率．
正确答案
（1）用1枚硬币掷3次，共有
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）8种情况
其中正面向上3次的有1种，其中正面向上2次的有3种，其中正面向上1次的有3种，其中正面向上0次的有1种．
故正面向上3次的概率为
用1枚硬币掷2次，共有
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种情况
其中正面向上2次的有1种，其中正面向上1次的有2种，其中正面向上0次的有1种．
故正面向上2次的概率为
故答案为：
（2）其中甲获胜的概率
P=
甲获胜的概率为0.5．
若空气质量分为1、2、3三个等级．某市7天的空气质量等级相应的天数如图所示．
（Ⅰ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级一样的概率；
（Ⅱ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级数之差的绝对值为1的概率．
正确答案
（Ⅰ）由频率分布直方图可得在这7天中，空气质量为一等的有2天，二等的有3天，3等的有2天．
从7天中任选2天，所有的取法共有
故这2天空气质量等级一样的概率为 
（Ⅱ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级数之差的绝对值为1的情况是，这2天中，有一天的空气质量为二等，另一天的空气质量为一等或三等，
故这2天空气质量等级数之差的绝对值为1的概率为
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