- 概率
- 共7791题
（本小题满分12分）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸3次，每次摸取一个球，考虑摸出球的颜色。
（1）试写出此事件的基本事件空间；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5分的概率。
正确答案
（1）
（红，黑，黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），
（2）
解：（I）
黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），
（Ⅱ）记3次摸球得分不小于5的事件为A，
则A=｛（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）｝共4个，
所以，
甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个；乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个．从两个盒子中各取1个球．
（1）求取出的两个球是不同颜色的概率；
（2）请设计一种随机摸拟方法，来近似计算（1）中取出两个球是不同颜色的概率（写出模拟的步骤）．
正确答案
略
（1）记
则
（2）随机模拟的步骤：
第1步：利用抓阄法或计算机（计算机）产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有
第2步：统计两组对应的
第3步：计算
从集合{2，3，5，7，11，21，33，35，55}中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1的概率是______．
正确答案
从中任取三个数的事件总数为
从中任取三个数，三个数的公约数为1的事件包括，
①从5个质数中任取三个数共
②取一个或两个质数有如下取法（2、3、35），（2、3、55），（2、5、21），（2、5、33），（2、7、33），（2、7、55），（2、11、21），（2、11、35），（2、21、55），（2、33、35），（3、7、55），（3、11、35），（5、11、21），（5、7、33）共14种方法．
所以从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1的方法为84-10-14=60种方法．
所以从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1的概率是p=
故答案是
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校,求抽取的2所学校均为小学的概率.
正确答案
（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1；
（2）抽取的2所学校均为小学的概率为
试题分析：（1）由分层抽样易求从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1；
（2）先列举出从抽取的6所学校中随机抽取2所学校的所有可能，找出抽取的2所学校均为小学可能，即可求出抽取的2所学校均为小学的概率.
试题解析：（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为
（2）设抽取的6所学校中小学为
已知
（1）求当
（2）求当
正确答案
（1）
试题分析：（1）这是几何概型的概率计算问题，先确定总区域即不等式组
试题解析：（1）点
满足
（2）满足
满足
一个盒中有6个球，其中红球1个，黑球3个，白球2个，现从中任取3个球，用列举法求下列事件的概率：（1）求取出3个球是不同颜色的概率.（2）恰有两个黑球的概率（3）至少有一个黑球的概率
正确答案
（1）
（1）先写出试验发生的总事件数有
（2）做法同（1）.
（3）对于至少或至多的问题一般从它的对立事件来考虑，摸出的是全不是黑球．
解：记盒子中的红球为R1，R2，黑球为B1，B2，B3，白球为W1，
列举：（R1,R2,B1）(R1,B1,B2) (R1,B2,B3)（R1,B3,W1）(R1,R2,B2)(R1,B1,B3)(R1,B2,W1)(R1,R2,B3)(R1,B1,W1)
(R1,R2,W1)(R2,B1,B2)(R2,B2,B3)(R2,B3,W1)(R2,B1,B3)
(R2,B2,W1)(R2,B1,W1)(B1,B2,B3)(B1,B2,W1)(B1,B3,W1)(B2,B3,W1)
P=
从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概是______．
正确答案
所有的取法共有
故所取的3个球中没有白球的概率是
故答案为 
已知
（1）分别从
①请写出随机变量
②当
（2）在盒子
正确答案
（1）①见解析 ②
试题分析：（1）①先确定
试题解析：（1）①
∴
②
（2）
∵
将1，2，3，4，5五个数字任意排成一排，且要求1和2相邻，则能排成五位偶数的概率
为 .
正确答案
试题分析：五个数字任意排成一排，且1和2相邻的排列总数为
（本小题满分13分）
为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。
正确答案
略
若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是______．
正确答案
解析：基本事件共6×6个，
点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，
故P=
故填：
某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
正确答案
(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件，事件
P(E)＝1－P(
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P(
P(ξ＝40)＝P(A
P(ξ＝50)＝P(AB
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝
所以ξ的分布列为
∴E(ξ)＝30×
（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，
正确答案
（1）
（2）
解：（1）记
则
于是
解得
（2）
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有
所以
若从集合{x|x2-9x≤10，x∈N}中任取三个不同的元素，则所取的三个元素可以构成等差数列的概率为______（填具体数值）．
正确答案
{x|x2-9x≤10，x∈N}={x|-1≤x≤10，x∈N}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}
从集合中任取3个不同的元素，所有的取法有C113=165，
则所取的三个元素可以构成等差数列的取法有50，
所以则所取的三个元素可以构成等差数列的概率为
故答案为：
某校夏令营有3名男同学
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）
用表中字母列举出所有可能的结果
设
正确答案
(1)15,(2)
试题分析：(1)列举事件，关键是按一定顺序，做到不重不漏.从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.(2)
试题解析：解（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件
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