- 概率
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某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的。
（1）求3个景区都有部门选择的概率；
（2）求恰有2个景区有部门选择的概率。
正确答案
解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等。
（1）从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有
∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为
记“3个景区都有部门选择”为事件A1，
∴事件A1的概率为
（2）分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，
则事件A3的概率为P（A3）=
P（A2）=1-P（A1）-P（A3）=
a、b是常数，关于x的一元二次方程x2+（a+b）x+3+
（1）若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）．
正确答案
（1）方程有实数解，（a+b）2-4（3+
即a2+b2≥12…（1分）
依题意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，
所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…（2分）
当且仅当“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”时，a2+b2≥12不成立…（5分），
所以满足a2+b2≥12的结果有36-（3+2+1）=30种…（6分），
从而P（A）=
（2）在平面直角坐标系aOb中，直线a+b=±6与a-b=±6
围成一个正方形…（8分）
正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=
正方形的面积S=d2=72…（10分），
圆a2+b2=12的面积为S′=12π…（11分）
圆在正方形内部…（12分），
所以P（A）=
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
（1）求甲答对试题数不多于2道的概率；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
正确答案
解：（1）依题意，设事件C表示甲答对的试题数不多于2道．
∴
（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B
则
甲、乙两人考试均不合格的概率为：
∴甲、乙两人至少一个合格的概率为
我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响．
（Ⅰ）求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；
（Ⅱ）求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．
正确答案
（Ⅰ）记“2次汇报活动都是由小组成员甲发言”为事件A
由题意，得事件A的概率P（A）=
即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为
（Ⅱ）由题意，每次汇报时，男生被选为代表的概率为
记“男生发言次数不少于女生发言次数”为事件B，
由题意，事件B包括以下两个互斥事件：1事件B1：男生发言2次女生发言0次，其概率为
P（B1）=
1
3
)2(1-
1
3
)0=
2事件B2：男生发言1次女生发言1次，其概率为
P（B2）=
1
3
)1(1-
1
3
)1=
∴男生发言次数不少于女生发言次数的概率为P（B）=P（B1）+P（B2）=
汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下（单位： g/km）
经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为
（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合CO2排放量的概率是多少？
（2）若90＜x＜130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性。
正确答案
解：（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果：80 ，110；80，120；80，140；80，150；110 ，120；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150。
设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：80，140；80，150；110，140；110，150；120，140；120，150；140，150，
所以，
答：至少有一辆不符合CO2排放量的概率为0.7。
（2）由题可知，
∴
令x-120=t，
∵90＜x＜130，
∴-30＜t＜10，
∴
∵
∴乙类品牌车CO2排放量的稳定性好。
a、b是常数，关于x的一元二次方程x2+（a+b）x+3+
（1）若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）．
正确答案
（1）方程有实数解，（a+b）2-4（3+
即a2+b2≥12…（1分）
依题意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，
所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…（2分）
当且仅当“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”时，a2+b2≥12不成立…（5分），
所以满足a2+b2≥12的结果有36-（3+2+1）=30种…（6分），
从而P（A）=
（2）在平面直角坐标系aOb中，直线a+b=±6与a-b=±6
围成一个正方形…（8分）
正方形边长即直线a+b=±6与a-b=±6之间的距离为d=
正方形的面积S=d2=72…（10分），
圆a2+b2=12的面积为S′=12π…（11分）
圆在正方形内部…（12分），
所以P（A）=
某种饮料每箱装5听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
正确答案
根据题意，从5听饮料中任取2听，有C52=10种不同的情况，
而其中未抽到不合格产品即从3听合格产品中任取2听的情况有C32=3种，
则检测出不合格产品的有10-3=7种；
故检测出不合格产品的概率为
某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是多少？
（2）现从这50名教师中随机选出2名教师做问卷调查，若选出3名教师都使用人教版教材，求恰有1人使用人教版A版的概率是多少？
（3）若随机选出的2名教师都是用人教版教材，设其中使用人教A版教材的教师人数为ξ的分布列和数学期望．
正确答案
（1）50名教师中随机选出2名的方法数为C502=1225，
选出的2人所使用版本相同的方法数为C202+C152+C52+C102=350．
故2人所使用版本相同的概率为P=
（2）由题意，所求概率即使用人教版教材的35名教师恰有1人使用人教A版、2人使用B版的概率，
即P=
（3）∵P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=0）=
∴随机变量ξ的分布列是
E（ξ）=
已知x、y之间的一组数据如下表：
（1）分别从集合A={1，3，6，7，8}，B={1，2，3，4，5}中各取一个数x，y，求x+y≥10的概率；
（2）针对表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y=
正确答案
解：(1)从x、y中各取一个数组成数对(x，y)，共有25对，
其中满足x+y≥10的有(6，4)，(6，5)，(7，3)，(7，4)，(7，5)，(8，2)，(8，3)，(8，4)，(8，5)，共9对，
故所求概率为P=
所以使x+y≥10的概率：P=
(2)用y=
用y=
因为s1＞s2，故直线y=
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙。
（1）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；
（2）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…xn的的样本方差
正确答案
解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，
令事件A=“第一大块地都种品种甲”
从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）
而事件A包含1个基本事件：（1，2）
所以
（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，
且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙。
在区间[0，6]内任取两个数（可以相等），分别记为x和y，
（1）若x、y为正整数，求这两数中至少有一个偶数的概率；
（2）若x、y∈R，求x、y满足x2+y2≤16的概率．
正确答案
（1）当x、y为正整数，等可能性的基本事件共6×6=36个，
则这两个数中没有偶数的取法有3×3=9种，故这两个数中没有偶数的概率为
故这两数中至少有一个偶数的概率为1-
（2）当x、y∈R，时，记事件总体为Ω，所求事件为B，则有
B：
B对应的区域为四分之一圆，其面积为4π，
由几何概型可知 P（B）=
某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？
（3）已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．
正确答案
解：（1）∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．
有
（2）第三批次的人数为y+z=900﹣（196+204+144+156）=200，
设应在第三批次中抽取m名，则
∴应在第三批次中抽取12名．
（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A，第三批次女教职工和男教职工数记为数对（y，z），
由（2）知y+z=200，（y，z∈N，y≥96，z≥96），
则基本事件总数有：（96，104），（97，103），（98，102），（99，101），（100，100），（101，99），（102，98），（103，97），（104，96），共9个，
而事件A包含的基本事件有：（101，99），（102，98），（103，97），（104，96）共4个，
∴
一工厂生产甲，乙，丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某天的产量如下表（单位：个），按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml杯子的概率．
正确答案
解：（1）．设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个，在丙样式的杯子中抽取x个，
由题意得，
则100﹣40﹣25=35，所以，
（2）设所抽样本中有m个500ml杯子，因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，所以
也就是抽取了2个500ml杯子，3个700ml杯子，
分别记作S1，S2；B1，B2，B3，
则从中任取2个的所有基本事件为
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，
其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），所以从中任取2个，至少有1个500ml杯子的概率为
某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，现有“世博会会徽”“海宝”（世博会吉祥物）图案和普通卡片三种卡片共24张。
（1）若已知“世博会会徽”共3张，若从中任取出1张卡片，取到“海宝”的概率是
（2）现将1张“世博会会徽”，2张“海宝”，3张普通卡片放置抽奖盒中，抽奖规则是：抽奖者每次抽取两张卡片，若抽到两张“海宝”卡获一等奖，抽到“世博会会徽”获二等奖，求抽奖者获奖的概率。
正确答案
解：（1）设“海宝”卡片有x张，
依题意
∴“海宝”卡片有4张；
（2）从1张“世博会会徽”，2张“海宝”，3张普通卡片中任取2张，包括5种情况：取1张“世博会会徽”，1张“海宝”卡，有2种取法；取1张“世博会会徽”，1张普通卡，有3种取法；取1张“海宝”，1张普通卡，有6种取法；取2张“海宝”卡，有1种取法；取2张普通卡，有3种取法；共记15种取法
抽奖者不能获奖的情况有两种：抽到1张“海宝”卡， 1张普通卡，有6种取法；或恰好抽到两张普通卡，有3种取法，则抽奖者不能获奖的概率为
∴抽奖者获奖的概率为
小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y，
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x+y=7上的概率；
(2)规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．
正确答案
解：(1)因为x、y可取1、2、3、4、5、6，
故以(x，y)为坐标的点共有36个，
记“点(x，y)落在直线x+y=7上”为事件A，则事件A包含的点有(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)，共6个，
所以事件A的概率P(A)=
(2)记“x+y≥10”为事件A1，“x+y≤4”为事件A2，用数对(x，y)表示x、y的取值，
则事件A1包含(4，6)、(5，5)、(5，6)、(6，4)、(6，5)、(6，6)，共6个数对；
事件A2包含(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)，共6个数对，
由(1)知基本事件总数为36，
所以事件A1的概率P(A1)=
事件A2的概率P(A2)=
即小王和小李两位同学赢的可能性是均等的，
所以这个规定是公平的．
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