- 概率
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已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止，
(1)求检验次数为3的概率；
(2)求检验次数为5的概率．
正确答案
解：(1)记“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A，
则检验次数为3的概率为P(A)=
(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件B，
记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C，
则检验次数为5的概率为P=P(B)+P(C)=
某中学号召学生在2010年春节期间至少参加一次社会公益活动．经统计，该校高三(1)班共50名学生参加公益活动情况如图所示，
(1)从高三(1)班任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
(2)从高三(1)班任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及均值Eξ。
正确答案
解：(1)由题意得：参加1次活动的有5人，2次活动的有25人，3次活动的有20人，
记事件A为“从高三(1)班任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等”，
则
(2)ξ可能取值为0、1、2，
所以ξ的分布列为：
∴
现有8名数理化成绩优秀学生，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀学生各1名，组成一个小组代表学校参加某项竞赛，
（1）求C1被选中的概率；
（2）求A1和B1不全被选中的概率。
正确答案
解：（1）从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀学生各1名，
其一切可能的结果组成的基本事件空间为：
由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的，
用M表示“C1恰被选中”这一事件，
则
事件M由9个基本事件组成，因而
（2）用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件
由于
事件
由对立事件的概率公式得
2010年秋季开学之初，某高中准备对本校2000名学生进行某项调研。各年级男、女人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.9，
（1）求x的值；
（2）若用分层抽样的方法在全校抽取48名学生进行座谈，求在高三年级抽取的人数；
（3）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率。
正确答案
解：（1）∵
（2）高三年级人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500，
用分层抽样法，应在高三年级抽取
（3）“高三年级女生比男生多”为事件有：(245，255)，(246，254)……（255，245）共11个，
其中事件A包含的基本事件有5个，
∴P(A)=
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（ⅰ）摸出3个白球的概率；
（ⅱ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）。
正确答案
解：（Ⅰ）（ⅰ）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件
则
（ⅱ）设“在1次游戏中获奖”为事件B，则
又
且A2，A3互斥，
所以
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，
所以X的分布列是
∴X的数学期望
甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢。
（1）若以A表示事件“和为6”，求P（A）；
（2）若以B表示事件“和大于4而小于9”，求P（B）；
（3）这种游戏公平吗？是说明理由。
正确答案
解：将所有可能情况列表如下：
由上表可知，该试验共包括25个等可能发生的基本事件，属于古典概型
（1）“和为6”的结果有：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5 种结果，故所求的概率为P（A）=
（2）“和大于4而小于9”包含了（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）， （5，1），（5，2），（5，3），共16个基本事件，所以
（3）这种游戏不公平。因为“和为偶数”包括13个基本事件，即甲赢的概率为
所以它不公平。
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率。
正确答案
（1）从袋中随机取两个球，其中一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个，
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个，
因此所求事件的概率为
（2）从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，
其一切可能的结果（m，n）有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个，
又满足条件n≥m+2的事件为（1，3），（1，4），（2，4）共3个，
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为
故满足条件n＜m+2的事件的概率为
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4。
（I）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
正确答案
解：（I）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个
因此所求事件的概率
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） 共16个，又满足条件n≥m+2的事件为（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为
故满足条件n
西安市某中学号召学生在2010年春节期间至少参加一次社会公益活动，经统计，该校高三(1)班共50名学生参加公益活动情况如图所示，
(Ⅰ)从高三(1)班任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
(Ⅱ)从高三(1)班任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及均值Eξ．
正确答案
解：(Ⅰ)由题意得：参加1次活动的5人，2次活动的25人，3次活动的20人，
记事件A为从高三(1)班任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等，
则
(Ⅱ) ξ可能取值为0，1，2，
所以ξ的分布列为
∴
某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率；
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高x元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为40元的奖券，假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是
正确答案
解：(Ⅰ)选出3种商品一共有
选出的3种商品中至多有一种是家电商品有
所以，选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率为
(Ⅱ)奖券总额是一随机变量，设为ξ，可能值为0，40，80，120，
所以，ξ的分布列为
所以，
所以，x≥60，
因此要使促销方案对商场有利，则x最少为60元。
袋中装着标有数字l，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(Ⅱ)用x表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．
正确答案
解：(Ⅰ)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则
(Ⅱ)由题意，X所有可能的取值为1，2，3，4，
随机变量X的分布列为：
随机变量X的均值为
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每 满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任…位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券，例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和。
(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量x的分布列和数学期望．
正确答案
解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C，
则
(1)若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域，
∴
即消费128元的顾客返券金额不低于30元的概率是
(2)由题意得，该顾客可转动转盘2次，
随机变量X的可能值为0，30，60，90，120，
所以，随机变量x的分布列为：
其数学期望为
在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；
（2）求这3个数和为18的概率；
（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ。
正确答案
解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，则
（2）记“这3个数之和为18”为事件B，考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，
分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，
所以
（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，
ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为
（1）求男生
（2）求男生
正确答案
解：
（1）
（2）
（1）求男生
（2）求男生
正确答案
解：
（1）
（2）
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