- 概率
- 共7791题
星空电视台组织篮球技能大赛，每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等，且互不影响。现有A、B、C、D、E、F六位选手参加比赛，电视台根据比赛成绩对前2名进行表彰奖励，
（Ⅰ）求A 至少获得一个合格的概率；
（Ⅱ）求A与B只有一个受到表彰奖励的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）记A运球，传球，投篮合格分别记为
则A参赛的所有可能的结果为
由上可知
所以
（Ⅱ）所有受到表彰奖励可能的结果为
则
在一次食品卫生大检查中，执法人员从抽样中得知，目前投放我市的甲、乙两种食品的合格率分别为90%和80%。
（1）今有三位同学聚会，若每人分别从两种食品中任意各取一件，求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率；
（2）若某消费者从两种食品中任意各购一件，设ξ表示购得不合格食品的件数，试求其数学期望。
正确答案
解：（1）P（ξ=2）=0.1×0.2=0.02，
因为每人从两种食品中各取一件，两件恰好都是不合格食品的概率为0.02，所以三人分别从中各取一件，恰好有一人取到两件都是不合格品的事件，可看做三次独立重复试验问题．
∴P=
（2）因为ξ=0，1，2，
则有 P（ξ=0）=0.9×0.8=0.72
P（ξ=1）=（1-0.9）×0.8+0.9×（1-0.8）=0.26
P（ξ=2）=1-0.72-0.26=0.02，
所求ξ的分布列为：
所以期望Eξ=0×0.72+1×0.26+2×0.02=0.30。
设函数f（x）=ax+
正确答案
解：
∴
于是f（x）>b恒成立就转化为
设事件A：“恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，3），（1，5），
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
事件A包含事件：（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个，
由古典概型得
掷甲、乙两枚骰子，甲出现的点数为x，乙出现的点数为y，若令P1为|x-y|>1的概率，P2为xy≤x2+1的概率，试求P1+P2的值。
正确答案
解：掷两个骰子，共有36种等可能的结果，出现|x-y|>1，即|x-y|=2，3，4，5的情形有20种，
所以
满足xy≤x2+1即
x=1时，y=1，2；
x=2时，y=1，2；
x=3时，y=1，2，3；
x =4时，y=1，2，3，4；
x=5时，y=1，2，3，4，5；
x=6时，y=1，2，3，4，5，6，共22种，
所以
故P1+P2=
甲、乙、丙三位同学分别写了一张新年贺卡，然后放在一起， 现在三人均从中抽取一张。
（1）求这三位同学恰好都抽到别人写的贺卡的概率；
（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率。
正确答案
解：设甲、乙、丙三位同学写的贺卡分别为①②③，我们采用“树状图”来分析共有6种情况，
（1）恰好都抽到别人写的贺卡有②③①、③①②两种情况，故所求概率
（2）恰好都抽到自己写的贺卡只有①②③一种情况，故所求概率
从0，1，2，…，9这十个数字中随机地取5个数字，方式为每取一个记录结果后放回，并按出现的先后顺序排成一排，求下列事件的概率：
（1）A1={五个数字排成一个五位偶数}；
（2）A2={五个数字排成一个五位数}。
正确答案
解：总事件数n=105，
（1）组成五位偶数则万位有9种填法，千位、百位、十位均有10种填法，个位有5种填法，故A1含有的基本事件数m1=9×103×5，
∴
（2）A2含有的基本事件数m2=9×104，
∴
甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、 “迎迎”和“妮妮各一个”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止，记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ。
（1）求掷骰子的次数为7的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ。
正确答案
解：（1）当ξ=7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为
（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，向上的点数是偶数出现的次数为n，
则由
可得：当
当m=6，n=1或m=1，n=6时，
当m=7，n=2或m=2，n=7时，
因此ξ的可能取值是5、7、9，
每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是
所以ξ的分布列是：
盒中装有5个球，其中3个白球，2个黑球。
（1）从中任取一个，得到白球的概率是多少？
（2）从中任取两个，都是白球的概率是多少？
正确答案
解：（1）∵5个球中有3个白球，
∴任取一个得到白球的概率是
（2）把5个球编号如下：白球为①②③号，黑球为④⑤号，
任取两个，则有下列结果：①②、①③、①④、①⑤、②③、②④、 ②⑤、③④、③⑤、④⑤，
发生的机会一样，而且是互斥的，
都是白球的情况有且仅有3种，即①②，①③，②③，
故任取两个，都是白球的概率是
从1，2，3，…，30中任意选一个数，求下列事件的概率：
（1）它是偶数；
（2）它能被3整除；
（3）它是偶数且能被3整除；
（4）它是偶数或能被3整除。
正确答案
解：∵1～30中共有15个偶数，10个能被3整除的数，5个能被6整除的数，则
（1）它是偶数的概率
（2）它能被3整除的概率
（3）它是偶数且能被3整除的概率
（4）它是偶数或能被3整除的概率
某种饮料每箱装12听，其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，用随机模拟法求检测出不合格品的概率有多大？
正确答案
解：利用计算器或计算机产生1到12之间的整数值的随机数，用1，2， …，9，10表示合格，用11，12表示不合格，两个随机数一组（每组两个随机数不同），统计随机数总组数N及含有11或12的组数N1，则频率
甲、乙两人做出拳游戏（锤子，剪刀，布），求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率。
正确答案
解：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C，容易得到下图，
（1）平局含3个基本事件（图中的△），
（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙），
（3）乙赢含3个基本事件（图中的※）。
盒中有大小形状相同的5只白球，2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
（1）任取1只球，得到白球；
（2）任取3只球，恰有2只白球；
（3）任取3只球（分三次每次放回再取），恰有3只白球。
正确答案
解：用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球，任取三球，即每三个数一组，每组中的数字不同；而任取三球（分三次每次放回再取），每组中的三个数字可以相同，于是，用计算器或计算机产生1到7之间的取整数值的随机数，
（1）统计随机数个数N及小于6的个数N1，则
（2）三个一组（每组中数字不重复），统计总组数M及恰有两个数字小于5的组数M1，则
（3）三个一组（每组中数字可以重复），统计总组数K及三个数字都小于6的组数K1，则
一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率。
正确答案
解：设Ω表示“连掷3次硬币”，则Ω={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反）}，
Ω由8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A={（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正）}，事件A由7个基本事件组成，因此
随意安排甲、乙、丙3人在3天节假日中值班，每人值班1天。
（1）这3个人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？
（2）其中甲在乙之前的排法有多少种？
（3）甲排在乙之前的概率是多少？
正确答案
解：（1）3个人值班的顺序所有可能的情况如图所示，
由图知，所有不同的排列顺序共有6种；
（2）由图知，甲在乙之前的排法有3种；
（3）记“甲排在乙之前”为事件A，则事件A的概率是P（A）=
先后抛掷两枚骰子，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）所得点数之和是3的概率是多少？
（3）所得点数之和是3的倍数的概率是多少？
正确答案
解：（1）将骰子抛掷一次，它出现6种结果，先后抛掷两枚骰子，第一枚骰子出现6种结果，第二枚又有6种可能结果，
于是一共有6×6=36（种）不同的结果；
（2）“所得点数之和为3”记为事件A，共有2种结果：“第一枚点数为1，第二枚点数为2”和“第一枚点数为2，第二枚点数为1”，
故所求概率为
（3）第一次抛掷时，向上的点数为1，2，3，4，5，6这6个数中的某一个，
第二次抛掷时，也可以有以上6种可能结果，其中使两次向上的点数和为3的倍数的有2种（例如，第一次向上的点数为4，则当第二次向上的点数为2或5时，两次的点数之和为3的倍数），
于是共有6×2=12（种）不同的结果，
抛掷骰子两次，得到的36种结果是等可能出现的，
记“所得点数之和是3的倍数”为事件B，
则事件B的结果有12种，
故所求的概率为
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