- 概率
- 共7791题
为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物，某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为
（1）求n，p的值并写出ξ的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。
正确答案
解：由题意知，
（1）由
得
从而
（2）记“需要补种沙柳”为事件A，则P（A）=P（ξ≤3），
得P（A）=
有甲、乙两个盒子，甲盒中有6张卡片，其中2张写有数字0，2张写有数字1，2张写有数字2；乙盒中也有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2，如果从甲盒中取1张卡片，乙盒中取2张卡片，设取出的3张卡片数字之积为随机变量ξ，
(1)求ξ的分布列和数学期望；
(2)记“函数f(x)=sin(2x+
正确答案
解：(1)由题意知ξ的取值为0，1，2，3，4，
ξ的分布列为
∴
(2)∵
∴
∴
∴
某新课程教学研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
（1）从这50名教师中随机选出2人，问这2人所使用版本相同的概率是多少？
（2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列及均值E（X）。
正确答案
解：（1 ）从50名教师中随机选出2人的方法数为
选出的2人使用版本相同的方法数为
故2人所使用版本相同的概率是
（2）因为P（X=0）=
所以随机变量X的分布列为
∴
一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望。
正确答案
解：（Ⅰ）
所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，
故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4，
故ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为
在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数。
（1）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；
（2）记ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）。求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ。
正确答案
解：（1）记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，
则 
（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，
则ξ的分布列是：
所以ξ的数学期望：
袋中装有10个大小相同的小球，其中黑球3个，白球n个（4≤n≤6） ，其余均为红球。
（1）从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是
（2）在（1）的条件下，从袋中任取2个球，若取一个白球记1分，取一个黑球记2分，取一个红球记3分，用ξ表示取出的两个球的得分的和；
①求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
②记“关于x的ξx2-ξx+1>0不等式的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率。
正确答案
解：（1）红球3个；
（2）①ξ的可能取值为2，3，4，6，
P（ξ=2）=
∴ξ的分布列为
∴Eξ=2×
②
设A={(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6，x，y∈N*}。
（1）求从A中任取一个元素是（1，2）的概率；
（2）从A中任取一个元素，求x+y≥10的概率；
（3）设η为随机变量，η=x+y，求Eη。
正确答案
解：（1）设从A中任取一个元素是（1，2）的事件为B，
所以从A中任取一个元素是（1，2）的概率为
（2）设从A中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，
有（4，6）（6，4）（5，5）（5，6）（6，5）（6，6），
∴
所以从A中任取一个元素x+y≥10的概率为
（3）η可能取的值2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴
∴
某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：
(1)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；
(2)若“实用性”得分的数学期望为
正确答案
解：(1)从表中可以看出“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，
∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为
(2)由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，
且每个等级分别有5件，b+4件，15件，15件，a+8件，
∴“实用性”得分y的分布列为：
又∵“实用性”得分的数学期望为
∴
∵作品数量共有50件，
∴a+b=3，解得a=1，b=2。
甲乙等五名大冬会志愿者被随机的分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每岗位至少有一名志愿者。
（1） 求甲乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（2） 求甲乙两人不在同一岗位服务的概率；
（3） 设随机变量
正确答案
解：（1）依题意，必有2个人分在同一个岗位，于是可以把“5名志愿者随即分到4个岗位，每个岗位至少分1个人”作为“一次试验”。
依题意知必有2个人分在同一个岗位上，于是“一次试验”有
∴P（加以两人同时参加A岗位服务）=
所以甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
（2）“甲乙两人不在同一岗位”时，允许甲和其他人在同一个岗位，乙也同样。
∴P（甲乙两人不在同一岗位）=1-P（甲乙两人在同一岗位）=
（3）
∴
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间。将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14)；第二组[14，15)……第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(Ⅰ)估计该班百米测试成绩的平均数；
(II)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，从该班选出两名同学，求这两名同学百米测试成绩为良好的人数ξ的数学期望；
(Ⅲ)若从第一组和第五组的所有学生中随机抽取两名同学，记m，n表示这两位同学的百米测试成绩，求事件“|m-n|＞1”的概率。
正确答案
解：(Ⅰ)0.06×13.5+0.16×14.5+0.38×15.5+0.32×16.5+0.08×17.5=15.7，
所以估计该班百米测试成绩的平均数为15.7秒。
(Ⅱ)由直方图知，成绩在[14，16)内的人数为：50×0.16+50×0.38=27(人)，
所以该班成绩良好的人数为27人。
ξ的取值为0，1，2，
ξ的分布列为
所以ξ的数学期望为
(Ⅲ)由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，分别设为x，y，z；
成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，分别设为A，B，C，D，
若m，n∈[13，14)时，有xy，xz，yz3种情况；
若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD6种情况；
若m，n分别在[13，14)和[ 17，18]内时，
共有l2种情况，所以基本事件总数为21种，
事件“|m-n|＞l”所包含的基本事件个数有12种，
∴
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．
（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望．
正确答案
解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，
则P（A）=
所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3
P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）=
所以X的分布列为
∴EX=0×
在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数．
（Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；
（Ⅱ）记ξ为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．
正确答案
解：（I）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件是C93，
而满足条件的事件是3个数恰有一个是偶数共有C41C52记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，
∴
（II）随机变量ξ为这三个数中两数相邻的组数，
则ξ的取值为0，1，2，
当变量为0时表示不包含相邻的数P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为
有A、B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3张写有2；B袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A袋中取1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片，求：
（1）取出的3张卡片都写0的概率；
（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（3）取出的3张卡片数字之积的数字期望．
正确答案
解（1）：由题意知本题是一个古典概型，
记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A．
∵试验发生时包含的所有事件是从A袋中任意取1张卡片，
B袋中任意取2张卡片共取3张卡片共有C61C72种取法．
而A事件表示的事件是A袋中任意取1张卡片是0，
B袋中任意取2张卡都是0共有C11C42种取法，
∴
（2）由题意知本题是一个古典概型，
记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B．
∵试验发生时包含的所有事件是从A袋中任意取1张卡片，B袋中任意取2张卡片共取3张卡片共有C61C72种取法．
而取出的3张卡片数字之积是4包括A袋中取得1，B袋中取得两个2；A袋里取得一个2，B袋中取得一个2一个1，共有C21C22+C31C11C21种方法，
∴
（3）ξ的可能取值为0，2，4，8
∴的概率分布列为：
盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品。为了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止，记ξ表示两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数。
（1）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4 次的概率；
（2）求ξ的分布列和数学期望。
正确答案
解：（1）检查次数为4次包含两种情形：
①前三次检查中有一个次品，第4次检查出次品，其概率为
②前4次检查全都是合格品，则余下两件必为次品，不需要再检查，其概率为
所以，所求概率为
（2）
分布列如下表：
∴
“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负。现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列及其期望．
正确答案
解：（1）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布），共有9个基本事件，
玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个，
所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率
（2）X的可能取值分别为0，1，2，3，
X的分布列如下：
∴
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