- 概率
- 共7791题
某车间在三天内，每天生产6件某产品，其中第一天、第二天、第三天分别生产出了2件、1件、1件次品，质检部门每天要从生产的6件产品中随机抽取3件进行检测，若发现其中有次品，则当天的产品不能通过，
（1）求第一天的产品通过检测的概率；
（2）记随机变量ξ为三天中产品通过检测的天数，求ξ的分布列及数学期望Eξ。
正确答案
解：（1）设概率为P， 依题意可得
（2）依题意知，ξ可取0，1，2，3，
记第i天的产品通过检测的概率为
则
∴
∴ξ的分布列为
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：
（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
正确答案
解：（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）=
（2）依题意得，X1，X2的分布列为
（3）E（X1）=1×
∵E（X1）＞E（X2），
∴应生产甲品牌轿车。
将10个白小球中的3个染成红色，3个染成蓝色，试解决下列问题：
（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望；
（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．
正确答案
解：（1）由题意知红球的个数是3个，
∴取出3个小球中红球个数ξ的可能值是0、1、2、3，
∵从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C103，
而其中恰有K个红球的结果数是 C3KC7 3﹣K，
∴其中恰有k个红球的概率为
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望：
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，“恰好1个红球和两个蓝球”为事件A1，“恰好2个红球”为事件A2，“恰好3个红球”为事件A3；
由题意知：A=A1∪A2∪A3
又
∴
旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；
（2）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望．
正确答案
解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条，共有43种结果，而满足条件的事件是3个旅游团选择3条不同的线路，也就是3个元素在4个位置排列，共有A43∴3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
∴期望Eξ=0×
某娱乐中心拟举行“春节”庆祝活动，每位来宾交30元入场费，可参加一次抽奖活动，抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为1，2，3，4，5，6六个相同小球的抽奖箱中，有放回地抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球分值之和为12分，则获得价值为m元礼品；若抽得两球分值之和为11分或10分，则获得价值为100元礼品；若抽得两球分值之和小于10分，则不获奖。
（1）求每位会员获奖的概率；
（2）假设这次活动中，娱乐中心既不赔钱，也不嫌钱，则m应为多少元？
正确答案
解：（1 ）设每位会员获奖的事件为A，
则事件A表示抽得两球分值之和为12分或抽得两球分值之和为11分或10分，
由已知，从一个装有分值分别为1，2，3，4，5，6六个相同小球抽奖箱中，有放回地抽取两次，所得所有结果数（列表略）共有：36个，
易知，其中的事件A共有6个，
所以P（A）=
（2）设每位来宾抽奖后，娱乐中心获利为随机变量ξ元，
则ξ可能取值为三种30-m，-70，30，
而其中每种可能情况下相应的概率分别为
则随机变量ξ的分布列为：
从而求得
若这次活动中娱乐中心既不赔钱也不赚钱，则Eξ=0，
所以m=580元。
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的数学期望．
正确答案
解：
（I）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，
根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．
（II）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，
故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（III）ξ的可能取值为0，1，2，3
故Eξ=
将10个白小球中的3个染成红色，3个染成蓝色，试解决下列问题：
（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望；
（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．
正确答案
解：（1）由题意知红球的个数是3个，
∴取出3个小球中红球个数ξ的可能值是0、1、2、3，
∵从10个球中任取3个，实验包含的所有事件数C103，
而其中恰有K个红球的结果数是C3KC7 3﹣K，
∴其中恰有k个红球的概率为
∴随机变量X的分布列是
∴X的数学期望：
（2）设“取出的3个球中红球数多于白球数”为事件A，
“恰好1个红球和两个蓝球”为事件A1，
“恰好2个红球”为事件A2，
“恰好3个红球”为事件A3；
由题意知：A=A1∪A2∪A3
又
∴
已知袋中有红色球3个，蓝色球2个，黄色球1个，从中任取一球，确定颜色后，不再放回袋中．
（1）求在三次选取中恰好有两次取到蓝色球的概率；
（2）若取到红球就结束选取，且最多只可以取三次，求取球次数的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）从6个球中选取3个，共有
三次选取中，恰好有两次取到蓝色球，共有
所以在三次选取中，恰好有两次取到蓝色球的概率为P=
（2）设取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
∴E ξ=1×
一个口袋中装有标号为1，2，3的6个小球，其中标号1的小球有1个，标号2的小球有2个，标号3的小球有3个，现在口袋中随机摸出2个小球．
（Ⅰ）求摸出2个小球标号之和为3的概率；
（Ⅱ）求摸出2个小球标号之和为偶数的概率；
（Ⅲ）用X表示摸出2个小球的标号之和，写出X的分布列，并求X的数学期望E（X）．
正确答案
解：（I）设“摸出2个小球标号之和为3”为事件A， 则
所以摸出2个小球标号之和为3的概率为
（II）设“摸出2个小球标号之和为偶数”为事件B，
摸出2个小球标号之和为偶数有3中可能（1，3），（2，2），（3，3），
其中摸出2个小球标号为（1，3）的概率为
摸出2个小球标号为（2，2）的概率为
摸出2个小球标号为（3，3）的概率为
所以摸出2个小球标号之和为偶数的概率为
（III）依题意X的可能取值为3，4，5，6
所以X的分布列为
现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．
正确答案
由题意成等比数列的10个数为：1，-3，（-3）2，（-3）3…（-3）9
其中小于8的项有：1，-3，（-3）3，（-3）5，（-3）7，（-3）9共6个数
这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=
故答案为：
已知数列{an}共10项，其中an=
正确答案
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