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题型:简答题
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简答题 · 5 分

14.在三棱锥S—ABC内任取一点P,使得的P-ABC的体积大于S-ABC的体积的概率是        .

正确答案

解析

如图所示,只有当P点为SO的中点,即当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时,符合要求。所以填

考查方向

概率、三棱锥的体积的求法。

解题思路

根据题意做出图形,求解

易错点

不会计算三棱锥体积,不理解相关概率的意义

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积与面积、体积有关的几何概型
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

19.已知在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,若SB丄AC,SA = SC.(1)求证:平面SBD丄平面(2)若 AB = 2,SB = 3,cos∠SCB=,∠SAC=60。,求四棱锥 S—ABCD 的体积.

正确答案

如图所示(1)设AC∩BD=O,连接SO

因为SA=SC,

所以SO∩SB=S,

所以AC⊥平面SBD,

因为AC在平面ABCD内,

所以平面SBD⊥平面ABCD

(2)⊥平面ABCD,即

由(1)知,AC⊥BD,所以底面ABCD是菱形,

所以BC=AB=2

因为SB=3,cos∠SCB=1/8

所以由余弦定理可得,SC=2,

所以∠SAC=60°,

所以SAC是等边三角形

所以在Rt△SOH中,SH=SO*sin60°=3/2

所以

解析

证AC垂直于面ABCD, 设AC交BD于0,因为SA=SC,SO交SB于S,所以AC垂直于平面SBD,因为AC在平面ABCD内,所以面SBD垂直于面ABCD.求底面面积时,先用余弦定理求出角SOB=120度,角SOH=60度,所以四棱锥的体积为  

考查方向

 立体几何中的相关计算和证明

解题思路

通过线线垂直得到线面垂直,进而得到面面垂直,找清四棱锥的底面和高,利用公式求解。

易错点

面面垂直概念混淆,立体感不强

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

10.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB = BC = AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为  (  )

A 

B8

C 

D 

正确答案

C

解析

AB=BC=AC=√3∴四面体ABCD体积最大时,D在ABC的另一个半球内正△ABC面积=3√3/4∴高=4∴D到面ABC距离=4ABC所在面的圆心为O'球心为O∴O'A=O'B=O'C=2√3×√3×sin60°=1设球的半径为R勾股定理得(4-R)²+1²=R²解得R=17/8∴表面积=4πR²=289/16所以选C

考查方向

本题主要与球体有关的计算、四面体体积最值问题。属于较难题

解题思路

先找到四面体体积最大时球的半径,然后再求表面积

易错点

找不到四面体体积最大时的情况,忘记球表面积计算公式

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

6.若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为,则___________.

正确答案

4

解析

若正三棱柱的所有棱长均为,

则其体积为,

,解得.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

9.右图是一个四面体的三视图,这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形,正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

由图可知,此几何体为底边长分别为1,2,高为2的三棱锥。B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。本题主要考查三视图

考查方向

本题主要考查三视图

解题思路

1、还原几何体;

2、求出体积,即可得到结果。B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。

易错点

本题易在还原几何体时发生错误。

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

19.如图,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD,BE⊥DF.(Ⅰ)若M为EA中点,求证:AC∥平面MDF;(Ⅱ)若AB=2,求四棱锥E-ABCD的体积.

正确答案

(1)略;(2)

解析

⑴证明:设交于点,连结,在矩形中,点中点,

因为中点,

所以

又因为平面平面

所以∥平面

⑵解:取中点为,连结,平面平面,平面平面平面

所以平面

同理平面

所以,的长即为四棱锥的高,在梯形

所以四边形是平行四边形,

所以平面

又因为平面

所以

所以平面.

注意到

所以 .

考查方向

本题考查了立体几何中的线面平行和体积.属于考中的高频考点。

解题思路

本题考查立体几何,解题步骤如下:

1、转化为证明线线平行。

2、利用体积公式求解。

易错点

第一问中的线面平行的转化。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

19.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,底面为菱形,

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)若求四棱锥的体积.

正确答案

见解析

解析

(Ⅰ)

证明:取的中点连接

底面为菱形,为正三角形,

的中点,

侧面为正三角形,的中点

.

(Ⅱ)

由(Ⅰ)得:面,作;

由侧面为边长等于2的正三角形、为正三角形、的中点得:,又的中点为

考查方向

线线垂直、线面垂直、面面垂直

解题思路

作出适当的辅助线,根据线面垂直证明线线垂直

易错点

找垂直条件时找不到

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

18. 如图,四边形是菱形,平面, ,点的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面平面

(Ⅲ)求三棱锥的体积.

正确答案

(Ⅰ)略;

(Ⅱ)略;

(Ⅲ)

解析

(Ⅰ)取中点,连接

因为点的中点,

所以

,且

所以

所以四边形为平行四边形.

所以

平面平面,

所以平面

(Ⅱ)连接

因为四边形为菱形,,所以为等边三角形.

因为中点,所以

又因为平面平面,所以

平面

所以平面

所以平面

平面,所以平面平面

法二:因为四边形为菱形,,所以为等边三角形.

因为中点,所以

又因为平面平面

所以平面平面

又平面平面,

所以平面

所以平面

平面,所以平面平面

(Ⅲ)因为

,   所以.   

考查方向

本题考查了线面平行,面面垂直的证明,体积的求法,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

(Ⅰ)借助于平行四边形,得到线线平行,进而得到线面平行;

(Ⅱ)利用面面垂直的判定定理;

易错点

定理记忆不清致误.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

9.如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,,则三棱锥与四棱锥的体积比为

A1:2

B1:3

C1:6

D1:8

正确答案

D

考查方向

本题考察了棱锥的体积,考察了空间中点到平面的距离

易错点

本题容易在没有发现B,D点的位置关系,导致无法解答

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

11. 某三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的体积为

正确答案

4

解析

如图,画出三棱柱,可知体积 .

考查方向

本题考查了通过三视图还原实物的能力,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

由三视图可知三棱柱的一个侧面是水平放置的.

易错点

不能还原出实物图像.

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积
下一知识点 : 球的体积和表面积
百度题库 > 高考 > 文科数学 > 棱柱、棱锥、棱台的体积

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