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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,已知为线段的中点。

(1)求证:平面

(2)求四棱锥的体积。

正确答案

见解析

解析

证明:(1) 连结交于,连结

为正方形,中点,中点,,   

平面平面

平面

(2) 作

平面平面

为正方形,平面

平面

 

平面

平面平面

   

四棱锥的体积 

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知ABC是边长为3的等边三角形,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足==.将ADE沿DE折起到1ADE的位置,并使得平面A1DE⊥平面BCED.

(1)求证:A1D⊥EC;
(2)求三棱锥E-A1CD的高。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)因为等边△的边长为3,且,

所以,. 在△中,,

由余弦定理得.

因为,

所以. ………………………3分

折叠后有,

因为平面平面  , 又平面平面,

平面,,所以平面

故A1D⊥EC.…………6分

(2)法一:由(2)的证明,可知,平面.

为坐标原点,以射线分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 , 作于点,连结 ,设, 则,, ,

所以,,,

所以

因为平面, 所以平面的一个法向量为…8分

设直线与平面所成的角为,

所以,

①若…9分

②若

因为函数上单调递增,所以

所以

故所求的最大值为 (此时点P与C重合)…………12分

法二:如图,作于点,连结 ,

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面

所以是直线与平面所成的角  , ………………………8分

,则,,DH=BD-BH=2-

所以A1H=

所以在中,tan=

①若x=0,则tan=……………9分

②若则tan=

因为函数上单调递增,所以

所以tan的最大值为(此时点P与C重合)…………12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,菱形的边长为6,,,将菱形沿对角线折起,得到三棱锥 ,点是棱的中点,

(1)求证:

(2)求三棱锥的体积。

正确答案

见解析

解析

(1) 证明:由题意,,

因为,所以

又因为菱形,所以

因为,所以平面

因为平面,所以平面平面,  

(2)解:三棱锥的体积等于三棱锥的体积,

由(1)知,平面

所以为三棱锥的高,

的面积为

所求体积等于,   

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,多面体ABCDEFG中,四边形ABCD,CDEF都是边长为2的正方形,DE⊥平面ABCD,AG⊥平面ABCD,且AG=1。

(1)若P是BC的中点,证明AP∥平面BFG;

(2)求四面体ABEG的体积。

正确答案

见解析。

解析

(1)取BF中点Q,连PQ、GQ,则PQ∥CF,且PQ=CF=AG=1,

∵CDEF是正方形,DE⊥平面ABCD,

∴ CF⊥平面ABCD,

∴PQ⊥平面ABCD,

又AG⊥平面ABCD,

∴PQ∥AG,APQG为矩形,

∴AP∥GQ

∵QG平面BFG,AP平面BFG,

∴AP∥平面BFG

(2)∵AG⊥平面ABCD,∴AG⊥AD,

又ABCD是矩形,∴AB⊥AD

从而AD⊥平面ABG

又DE⊥平面ABCD,∴AG∥DE

 

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在底面为直角梯形的四棱锥

(1)求证:

(2)当时,求此四棱锥的表面积。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:由题意知 则

(4分)

(2)

.

.(6分)

过D作DH⊥BC于点H,连结PH,则同理可证明

并且.

(8分)

易得

.

.(11分)

故此四棱锥的表面积

 (12分)

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,菱形的边长为6,,,将菱形沿对角线折起,得到三棱锥 ,点是棱的中点,

(1)求证:

(2)求三棱锥的体积。

正确答案

见解析

解析

解析:(1) 证明:由题意,,

因为,所以。…3分

又因为菱形,所以

因为,所以平面

因为平面,所以平面平面。       ……………6分

(2)解:三棱锥的体积等于三棱锥的体积。

由(1)知,平面

所以为三棱锥的高。

的面积为

所求体积等于。          ……………12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图所示,圆柱的高为2,底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线,过作圆柱的截面交下底面于, 四边形ABCD是正方形。

(1)求证

(2)求四棱锥E-ABCD的体积。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:AE是圆柱的母线,

下底面,又下底面,…………….3分

截面ABCD是正方形,所以,又

⊥面,又…………….5分

(2)因为母线垂直于底面,所以是三棱锥的高…………….6分

由(1)知⊥面⊥面

,交

,即EO就是四棱锥的高…………….8分

设正方形的边长为, 则

为直径,即

中,,    即

…………….(10分)

…………….(12分)

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图所示,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,AB = 1,,点F是PB的中点,点E在边BC上移动。

(1)若,求证:

(2)若二面角的大小为,则CE为何值时,三棱锥的体积为.

正确答案

见解析

解析

(1)证明:,为PB中点,

                           1分

⊥平面,∴     2分

是矩形,∴         3分

,而  4分

,∴       5分

,∴       6分

(2)由(1)知:   7分

为二面角的一个平面角,则=60°      8分

                                       9分

,解得           11分

时,三棱锥的体积为                     12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在直三棱柱中,,三棱锥的体积为,求直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

       

正确答案

见解析

解析

   

, 是直线与直线所成的角  

     

所以直线所成的角为     

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

19.如图,已知四棱锥的底面是直角梯形,侧面底面的中点。

(1)求证:

(2)求 四棱锥的体积。

正确答案

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
下一知识点 : 球的体积和表面积
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