数列_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第21行第五个数的数是______．

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2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

…

正确答案

从数阵可知：每一行成公差为1的等差数列，

下一行的第一个数比上一行最后一个数大1

由已知可得第n行最右边的数是n2，

故第20行最右边的数为：202=400，

故第21行是从401开始的以1为公差的等差数列，

即第21行第五个数的数是401+（5-1）×1=405

故答案为：405

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题型：简答题

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简答题

在数列{an}，{bn}，a1=2，an+1-an=6n+2，若(，bn)在y=x2+mx的图象上，{bn}的最小值为b2．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求m的取值范围．

正确答案

（1）∵an+1-an=6n+2，a1=2，

∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=2+8+…+（6n-4）=3n2-n；

（2）∵(，bn)在y=x2+mx的图象上，

∴bn=（3n-1）2+m（3n-1）

∴b1=4+2m，b2=25+5m，b3=64+8m

∵{bn}的最小值为b2，

∴

∴-13≤m≤-7

∵bn+1-bn=3（m+6n-1）

∴n≥3时，bn+1-bn＞0，∴bn+1＞bn，即数列从第2项起是递增的，

综上可得，-13≤m≤-7．

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题型：简答题

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简答题

数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项均为正，从第7项开始变为负的：

（1）求此等差数列的公差d；

（2）设前n项和为Sn，求Sn的最大值；

（3）当Sn是正数时，求n的最大值．

正确答案

（1）∵数列{an}首项为23，前6项均为正，从第7项开始变为负

∴a6=a1+5d=23+5d＞0，a7=a1+6d=23+6d＜0，

解得：-＜d＜-，

又d∈Z，∴d=-4

（2）∵d＜0，∴{an}是递减数列，

∵a6＞0，a7＜0

∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+×(-4)=78

（3）Sn=23n+×（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0

∴0＜n＜，又n∈N*，

∴n的最大值为12．

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题型：填空题

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填空题

若数列{an}为等差数列，a1＞0，a2005+a2004＞0，a2005•a2004＜0，则使前n项和Sn＞0的最大自然数n=______．

正确答案

由题意知：等差数列中，从第1项到第2004项是正数，且从第2005项开始为负数，

则S4008=2005（a1+a4008）=2005（a2004+a2005）＞0，

S4009==4009a2005＜0，

故n的最大值为4008．

故答案为：4008

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}，a1=m，m∈N*，an+1=，若a1=2013，则a2013=______；若{an}中有且只有5个不同的数字，则m的不同取值共有______个．

正确答案

①∵a1=2013，an+1=，

∴a2==1007，a3==504，a4==252，

a5==126，a6==63，a7==32，a8==16，

a9==8，a10==4，a11==2，a12==1，a13==1，

∴当n≥12时，an=1．

∴a2013=1．

②当m=1时，a1=1，a2==1，…，an=1，

则{an}中只有1个不同的数字1，不成立，故m≠1；

当m=2时，a1=2，a2==1，…，an=1（n≥2），

则{an}中只有2个不同的数字2和1，不成立，故m≠2；

当m=3时，a1=3，a2==2，a3==1，…an=1（n≥3），

则{an}中只有3个不同的数字1，2，3，不成立，故m≠3；

当m=4时，a1=4，a2==2，a3==1，…，an=1（n≥3），

则{an}中只有3个不同的数字1，2，4，不成立，故m≠4；

当m=5时，a1=5，a2==3，a3==2，a4==1，…，an=1（n≥4），

则{an}中有4个不同的数字1，2，3，5，不成立，故m≠5；

当m=6时，a1=6，a2==3，a3==2，a4==1，…，an=1（n≥4），

则{an}中有4个不同的数字1，2，3，6，不成立，故m≠6；

当m=7时，a1=7，a2==4，a3==2，a4==1，…，an=1（n≥4），

则{an}中有4个不同的数字1，2，4，7，不成立，故m≠7；

当m=8时，a1=8，a2==4，a3==2，a4==1，…，an=1（n≥4），

则{an}中有4个不同的数字1，2，4，8，不成立，故m≠8；

当m=9时，a1=9，a2==5，a3==3，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，3，5，9，成立，故m=9；

当m=10时，a1=10，a2==5，a3==3，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，3，5，10，成立，故m=10；

当m=11时，a1=11，a2==6，a3==3，a4==2，a5==1，…an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，3，6，11，成立，故m=11；

当m=12时，a1=12，a2==6，a3==3，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，3，6，12，成立，故m=12；

当m=13时，a1=13，a2==7，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，4，7，13，成立，故m=13；

当m=14时，a1=14，a2==7，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，4，7，14，成立，故m=14；

当m=15时，a1=15，a2==8，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，4，8，15，成立，故m=15；

当m=16时，a1=16，a2==8，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），

则{an}中有5个不同的数字1，2，4，8，16，成立，故m=16；

当m=17时，a1=17，a2==9，a3==5，a4==3，a5==2，a6==1…，an=1（n≥6），

则{an}中有6个不同的数字1，2，3，5，9，17，不成立，故m≠17；

当n≥17时，{an}中有6个或6个以上不同的数字．

∴m的不同取值共有8个．

故答案为：1，8．

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和为Sn=，数列{bn}满足条件：b1=1，bn-bn-1=2n-1（n≥2）．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．

正确答案

（1）因为数列{an}的前n项和为Sn=，

所以有：a1=S1=1，an=Sn-Sn-1=n（n≥2），

所以an=n．

而数列{bn}满足条件：b1=1，bn-bn-1=2n-1（n≥2）．

故bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=1+2+22+…+2n-1==2n-1；

（2）由（1）得：anbn=n2n-n．

令Un=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n…..①

所以：2Un=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）×2n+n×2n+1 …②

①-②得-Un=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=（1-n）2n+1-2；

∴Un=（n-1）2n+1+2．

所以，Tn=Un-=（n-1）2n+1-+2．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是各项均不为0的等差数列，点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{bn}满足bn=()n-1．

（I）求an；

（II）若数列{cn}满足cn=，证明：c1+c2+c3+…+cn＜3．

正确答案

（I）因为点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上，所以an2=S2n-1，

令n=1，2得，即解得，

∴an=2n-1；

（II）由（I）得cn===，

令Tn=c1+c2+c3+…+cn，

则Tn=+++…++，①

∴Tn=+++…++，②

①-②得Tn=+++…+-=1+×-=2-

∴Tn=3-＜3．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2-2x+4，数列{an}是公差为d的等差数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1）

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）Sn为{an}的前n项和，求证：++…+≥．

正确答案

（1）a1=f（d-1）=d2-4d+7，a3=f（d+1）=d2+3，

又由a3=a1+2d，可得d=2，所以a1=3，an=2n+1

（2）证明：由题意，Sn==n(n+2)，

所以，==(-)

所以，++…+=(1-+-+-+…+-)

=(--)≥(--)=

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题型：简答题

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简答题

我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列（其中an＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．

（1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；

（2）若数列{an}的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求数列{an}的k方数列通项公式．

（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{an}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程．

正确答案

（1）S（1，2）=a1+a2，S（3，2）=a13+a23，S（2，2）=a12+a22…（2分）

∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]2

=（a1+a2）（a13+a23）-（a12+a22）2…（4分）

=a1a23+a2a13-2a12a22

=a1a2（a1-a2）2

∵an＞0，，∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]2…（5分）

（2）设an-an-1=d，an2-an-12=p…（7分）

则 d（an+an-1）=p…①d（an+1+an）=p…②

∴②-①得 2d2=0，∴d=p=0 …（9分）an=an-1，∴ank-an-1k=0

∴ank=ak…（11分）

（3）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n） …（15分）

证明：[S（1，n）]2=S（3，n）[S（1，n-1）]2=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）

相减得：an[S（1，n）+S（1，n-1）]=an3

∴[S（1，n）+S（1，n-1）]=an2[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=an-12

相减得：an+an-1=an2-an-12，，an＞0an-an-1=1，，a1=1

∴an=n…（18分）

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题型：填空题

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填空题

数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，n∈N*，则an=______，数列{}中最大项的值为______．

正确答案

∵数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，n∈N*，则 a1=S1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n，

故数列的通项公式为 an=2n．

数列{}的通项公式为 =≤=，当且仅当n=3时，取等号，故数列{}中最大项的值为，

故答案为 2n，．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的前n项和Sn=n2，则a4=______．

正确答案

∵Sn=n2，∴a4=S4-S3=16-9=7．

故答案为：7．

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}的公差为d且a1=2．若当且仅当n=6时，该数列的前n项和Sn取到最大值，则d的取值范围是______．

正确答案

由题意可得 a6=2+5d＞0，且a7=2+6d＜0，解得-＜d＜-，

故答案为 (-，-)．

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}中，a1=，前n项和为Sn，且S3=S12，则使Sn取最大值时，n=______．

正确答案

∵S3=S12，∴S12-S3=0，

故a4+a5+a6+…+a12=0，①

由等差数列的性质可得

a4+a12=a5+a11=…=2a8，②

综合①②可得a8=0，结合a1=＞0可知，

等差数列{an}中，前7项为正数，第8项为0，从第9项开始为负值，

故数列的前7项或前8项和最大，

故答案为：7或8

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}中，a1=29，S10=S20，问这个数列的前多少项和最大？并求此最大值．

正确答案

解析：设数列{an}的公差为d，

∵S10=S20，∴10×29+d=20×29+d，

解得d=-2，∴an=-2n+31，

令an=-2n+31≤0，解得n≥15.5，

故等差数列{an}的前15项均为正数，从第16项开始全为负值，

故当n=15时，Sn最大，最大值为S15=15×29+（-2）=225．

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题型：填空题

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填空题

若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n（n=1，2，3，…），则数列{nan}中数值最小的项是第______项．

正确答案

当n=1时，a1=S1=1-10=-9，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-10n-[（n-1）2-10（n-1）]=2n-11，

上式对于n=1时也成立．∴an=2n-11．

∴nan=n（2n-11）=2n2-11=2(n-)2-，

因此当n=3时，数列{nan}中数值取得最小值-15．

故答案为3．

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