- 数列
- 共33563题
数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于______．
正确答案
解；∵5-2=3=1×3，11-5=6=2×3，20-11=9=3×3，
∴x-20=4×3=12，47-x=5×3=15，
∴x=32
故答案为32
已知数列{an}的通项公式是an=
正确答案
令f（n）=（2n-7）（3n-19）（n∈N+），
解f（n）＞0得，n＜
∴当n＜
∵f（n）=（2n-7）（3n-19）=6n2-39n+126
∴当n=-
∵an=
∴当n=3时，an有最大值为a3=
当n=6时，an有最小值为a6=
∴该数列的最大项和最小项的和为-1．
故答案为：-1
向量
正确答案
因为 
化简得：an-1=an．
根据数列的递推式发现，此数列的各项都相等，都等于第一项a1，
而a1=5，则数列{an}的每一项都为5即此数列是以5为首项，0为公差的等差数列．
所以数列{an}的前10项的和s10=5×10=50
已知数列{an}，an=
正确答案
在数列{an}中，因为an=
由
所以，
故答案为3．
对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列
T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1
对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；
又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）。
（1）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）。
正确答案
解：（1）
（2）设每项均是正整数的有穷数列A为
又
所以
故
（3）证明：设A是每项均为非负整数的数列
当存在
则
当存在
若记数列
则
所以
从而对于任意给定的数列
可知
又由（2）可知
所以
即对于
因为
所以经过有限步后，必有
即存在正整数K，当
在数列1，4，7，10，x，16．中，x的值是______．
正确答案
∵从第二项起，每一项与前一项的差为定值3，
∴x-10=10-7=3，
∴x=13．
故答案为：13．
已知数列{an}的通项公式是an=
正确答案
由2
故2
故答案为7．
已知一列数1，-5，9，-13，17，…，根据其规律，下一个数应为 ______．
正确答案
依题意可推断出数列的每项的绝对值，成等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，
进而可推断出下一位的数列的数为-21，
故答案为：-21
数列{an}满足a1+a2+…+an=n（n∈N*），则数列{an}的通项为an=______．
正确答案
由题意数列{an}满足a1+a2+…+an=n（n∈N*），
∴an=n-（n-1）=1
又a1=1
故an=1即为数列{an}的通项
故答案为1
对于数列A：a1，a2，…，an，若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”。定义变换T，T将"0-1数列"A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0；例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1。设A0是"0-1数列"，令Ak=T（Ak-1），k=1，2，3，…，
(Ⅰ)若数列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求数列A1，A0；
(Ⅱ)若数列A0共有10项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
(Ⅲ)若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k=1，2，3，…，求lk关于k的表达式。
正确答案
解：(Ⅰ)由变换T的定义可得A1：0，1，1，0，0，1；
A0：1，0，1；
(Ⅱ)数列A0中连续两项相等的数对至少有10对；
证明：对于任意一个“0-1数列”A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1，0，0，1，在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0，1，1，0，
因此，共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对，
所以A2中至少有10对连续相等的数对。
(Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对，
Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以
Ak+1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到；②由Ak中00得到，
由变换T的定义及A0：0，1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有
所以
所以
由A0：0，1可得A1：1，0，0，1，A2：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以
当k≥3时，
若k为偶数，
…
上述各式相加可得
经检验，k=2时，也满足
若k为奇数，
…
上述各式相加可得
经检验，k=1时，也满足
所以
已知数列
（1）若数列
（2）若
（3）若
正确答案
解：（1）由题意得：
（2）因为 
由于
相加得
即
由于
根据“生成数列”的定义知，数列
（3）证明：设数列
欲证
即只要证明
由（2）中结论可知 
所以，
所以
若数列{an}满足性质“对任意正整数n，
正确答案
记点A1（1，1），A2（2，a2），A3（3，a3），…，A19（19，a19），A20（20，58），
则过点A1A20的直线l的方程为y=3x-2，可证明点A2，A3，…，A19均不可能在直线l的右下方区域．
而当点A2，A3，…，A19均在直线l上时，数列{an}构成等差数列，显然有
故答案为：28．
在等差数列{an}中，a2+3a7=0，且a1＞0，Sn是它的前n项和，当Sn取得最大值时的n=______．
正确答案
∵等差数列{an}中，a2+3a7=0，a1＞0，
∴（a1+d）+3（a1+6d）=0，
a1=-
∴Sn=na1+
=-
=
=
∴n=5时，Sn取得最大值．
故答案为：5．
已知数列{an}中a1=
（1）求证数列{bn]是等差数列；
（2）若Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1），则Sn是否存在最大值或最小值？若有，求出最大值与最小值，若没有说明理由．
正确答案
（1）由题意知bn=
∴数列{bn]是首项为b1=
（2）依题意有．an-1=
Sn=（a1-1）•（a2-1）+（a2-1）•（a3-1）+…+（an-1）•（an+1-1）=-
设函数y=
Sn在[3+∞）上是递增，且Sn＜-
而函数y=
故当n=2时，Sn取最大值：S2=
已知函数f（x）=2x+log2x，数列{an}的通项公式是an=0.1n（n∈N），当|f（an）-2005|取得最小值时，n=______．
正确答案
|f（an）-2005|=|f（0．n）-2005|=|20.1n+log20.1n-2005|，（1）
要使（1）式取得最小值，可令（1）式等于0，即|20.1n+log20.1n-2005|=0，
20.1n+log20.1n=2005，
又210=1024，211=2048，
则当n=100时，210=1024，log210≈3，（1）式约等于978，
当n=110时，211≈2048，log211≈3，（1）式约等于40，
当n＜100或n＞110式（1）式的值会变大，
所以n=110，
故答案为：110．
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