热门试卷

解：（1）由变换T的定义可得A1：0，1，1，0，0，1；

A0：1，0，1。

（2）数列A2中连续两项相等的数列至少有10对

证明：对于任意一个“0-1数列A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1，0，0，1，

在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0，1，1，0

因此，共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续两项相等的数对，

所以A2中至少有10对连续两项相等的数对。

（3）设Ak中有bk个01数对，

中的00数对只能由Ak中的01数对得到，

所以

中的01数对有两个产生途径：

①由Ak中的1得到；

②由Ak中00得到，

由变换T的定义及A0：0，1

可得Ak中0和1的个数总相等，且共有个，

所以

所以

由A0：0，1可得A1：l，0，0，1，A2：0，1，1，0，1，0，0，1，

所以l1=1，l2=1，

当k≥3时，

若k为偶数，

…

l4=l2+22，

上述各式相加可得

经检验，k=2时，也满足

若k为奇数

…

l3=l1+2，

上述各式相加可得

经检验，k=1时，也满足

所以。

（1）解：由题意得： ；；

；                       

. 

（2）证明：因为 ， ， ，……   ，                              

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，

相加得……

即，.                                    

由于，

根据，数列是的“生成数列”       

（3）证明：设数列,,中后者是前者的“生成数列”.

欲证成等差数列，只需证明成等差数列，

即只要证明即可. 

由（2）中结论可知 ，

，

所以，，即成等差数列，

所以是等差数列.            

解 （1）令n=1得a2-5=，解得a2=12，

由已知得（an+1-an）2=2（an+1+an）+15        ①

（an+2-an+1）2=2（an+2+an+1）+15     ②

将②-①得（an+2-an）（an+2-2an+1+an）=2（an+2-an），

由于数列{an}单调递增，所以an+2-an≠0，于是

an+2-2an+1+an=2，即（an+2-an+1）-（an+1-an）=2，

所以{an+1-an}是首项为7，公差为2的等差数列，于是

an+1-an=7+2（n-1）=2n+5，所以

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（2n+3）+（2n+1）+…+7+5=n（n+4）．

（2）在 Sn=2（1-bn）中令n=1得b1=2（1-b1），解得b1=，

∵Sn=2（1-bn），Sn+1=2（1-bn+1），相减得bn+1=-2bn+1+2bn，即3bn+1=2bn，

∴{bn}是首项和公比均为的等比数列，

∴bn=（）n．

从而anbn=n（n+4）（）n．

设数列{anbn}的最大项为akbk，则有

k（k+4）（）k≥（k+1）（k+5）（）k+1，且k（k+4）（）k≥（k-1）（k+3）（）k-1，

所以k2≥10，且k2-2k-9≤0，因为k是自然数，解得k=4．

所以数列{anbn}的最大项为a4b4=．

（1）a2=f（a1）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，

a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．

（2）由已知可得f（x）=

当an≥-c时，an+1-an=c+8＞c；

当-c-4≤an＜-c时，an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；

当an＜-c-4时，an+1-an=-2an-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．

∴对任意n∈N*，an+1-an≥c；

（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．

又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥-c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，

因此公差d=c+8．

①当a1＜-c-4时，则a2=f（a1）=-a1-c-8，

又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，

当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞-c，

∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；

②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；

③若a1≥-c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．

综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞）．

（1）∵S4=2S2+4，∴4a1+d=2(2a1+d)+4，解得d=1，

（2）∵a1=-，∴数列an的通项公式为 an=a1+(n-1)=n-，∴bn=1+=1+，

∵函数f(x)=1+在(-∞，)和(，+∞)上分别是单调减函数，

∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，∴数列{bn}中的最大项是b4=3，最小项是b3=-1．

（3）由bn=1+ 得  bn=1+，

又函数f(x)=1+在（-∞，1-a1）和（1-a1，+∞）上分别是单调减函数，

且x＜1-a1 时，y＜1；x＞1-a1时，y＞1．

∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，∴7＜1-a1＜8，∴-7＜a1＜-6，∴a1的取值范围是（-7，-6）．