热门试卷

（1）解：=1，=3，=6，=10，=15，；

（2）证明：“略”；

（3）证明：“略”。

解：（1）由与可得，

故所求的值分别为。

（2）当时，①       ②

①-②可得

即

故有

而，所以的通项公式为。

解（1 ）当时，；

当时，。   

    又时，成立，所以。

（2），

由

所以，

所以，

所以最小项为。

解：（Ⅰ）①设等差数列{an}的公差为d，

则，

因为是等差数列，

所以，即，

解得d=0或d=1，

因为d≠0，所以d=1，

此时，

即是等差数列，

所以an=n，；

②由①得，

所以，

因为，

所以，所以；

（Ⅱ）假设存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使对一切n∈N*都成立，

则，

所以，

所以，

若，则，

所以当n∈N*时，，即，

因为cn∈N*，所以，

令c1=M，

所以（c2-c1）+c1≤-（M+1）+M=-1＜0，

与矛盾；

若，取N为的整数部分，

则当n≥N时，，

所以，即，

因为cn∈N*，所以，

令cN=M，

所以

≤-（M+1）+M=-1＜0，

与矛盾；

综上，假设不成立，即不存在各项都是正整数的无穷数列{cn}，使对一切n∈N*都成立。

解：（1）由于且a1=1，

所以当a2=-1时，得，

故 　

从而

（2）数列{an}不可能为等差数列

证明如下：由a1=1，得

若存在，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即 　 　

解得=3

于是　　　　　

这与{an}为等差数列矛盾，

所以，对任意，{an}都不可能是等差数列。

（3）记

根据题意可知，b1＜0且，即＞2且N*），

这时总存在N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0-1时，bn＜0

所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，则，

从而当n＞n0时an＜0；

若n0为奇数，则，

从而当n＞n0时an＞0

因此“存在m∈N*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：n0为偶数，

记n0=2k（k=1，2， …），则满足

故λ的取值范围是4k2+2k（k∈N*）。

解：（1）由已知可得（n≥2）

故数列{}是等差数列。

（2）由（1）的结论可得=1+（n-1）×3，

所以bn=3n-2

∴。

（3）将代入并整理得≤3n+1

∴

原命题等价于该式对n≥2恒成立

设

则Cn+1-Cn=，Cn+1>Cn

∵n=2时，Cn的最小值C2为

∴λ的取值范围是（-∞，]。

解：（1）；

（2）归纳猜想；

（3）数学归纳法证明“略”。

解：（Ⅰ）m=9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，

即前六项为9，1，2，0，3，3。

（Ⅱ）；

 （Ⅲ），

由（Ⅱ）可得，

为定值且单调不增，

∴数列必将从某项起变为常数，

不妨设从l项起为常数，则，

于是，

所以，

所以{an}当n≥l+1时成为常数列。

解：（1）三项分别为9，15，21；

（2）数列c1，c2，c3，…，c40的项分别为：

9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，则不是数列{bn}中的项有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10项；

（3），，，

∵

∴，

。

解：（1）由，得，

解得：m=3或（舍去）。

（2），

；

（3）

。

解：（1）∵an-1-an-4an-1an=0（n≥2，n∈N*），

∴两边同除以an-1an得（n≥2，n∈N*）， 

∴数列是以为首项，4为公差的等差数列；

（2）由（1）得

∴，

∴

设a1a2是数列中的第t项，则，解得t=11

∴a1a2是数列中的第11项。

解：(1)依题意有，化简得(1-b)x2+cx+a=0，

由韦达定理，得，解得，

代入表达式得，

由得c＜3，

又c∈N，b∈N，

若c=0，b=1，则f(x)=x，不满足题意，

∴c=2，b=2，

故。

(2)由题设得，得：， (*)

且an≠1，用n-1代n得：，(**)

(*)与(**)两式相减得：，

即，

∴或，

把n=1代入(*)得：，

解得a1=0(舍去)或a1=-1，

若，得a2=1，这与an≠1矛盾，

∴，即{an}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，

∴an=-n。

(3)采用反证法，假设an≥3(n≥2)，则由(1)知，

∴，

即，有，

而当n=2时，，

∴an＜3，这与假设矛盾，故假设不成立，

∴an＜3。

解：（1）由题意知，

，

又是等比数列，

∴，

∴a=2，a1=2，

∴，

当n=2时，；

当n≥3时，，

即，

∴，，，

又，

∴bn=2n，Sn=n（n+1），

（2），

，

∴，

∴cn的最大值为，

所以t的最小值为。

（1）证明：，

所以，，

即，

（2）解：由（1）知数列的公差为，

又因为x1=，

所以，

所以。