数列_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品．如图所示，若按照这种规律依次增加一定数量的宝石．则第5件工艺品所用的宝石数为（）颗；第n件工艺品所用的宝石数为（）颗（结果用n表示）．

正确答案

66；

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题型：填空题

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填空题

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

（1）b2012是数列{an}中的第（）项；

（2）b2k-1=（）。（用k表示）

正确答案

（1）5030；（2）

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题型：填空题

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填空题

在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示这n堆的乒乓球总数，则f(3)=（）；f(n)=（）（f(n)的答案用n表示）。

正确答案

10；

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题型：填空题

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填空题

一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示：若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第4件工艺品所用的宝石数为（）颗；第n件工艺品所用的宝石数为（）颗 (结果用n表示)

正确答案

45；2n2+3n+1

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1。

（1）证明：数列是等差数列；

（2）若不等式an+1＜（5-λ）an恒成立，求λ的取值范围。

正确答案

解：（1）当时，得

，

当时，，两式相减得

即，

所以

又，

所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）知，即

因为，

所以不等式等价于

因为，而，

所以，

故，即

故使不等式成立的λ的取值范围是。

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（n∈N*），

（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn。

正确答案

解：（Ⅰ）因为，

令n=1，解得，

再分别令n=2，n=3，解得；

（Ⅱ）因为，

所以，

两式相减得，

所以，

又因为，

所以是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，

所以，。

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=，n∈N*，则a2，a3，a4的值分别为（），由此猜想an=（）。

正确答案

；

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题型：填空题

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填空题

在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示这n堆的乒乓球总数，则f(3)=（）；f(n)=（）（答案用n表示）。

正确答案

10；

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题型：简答题

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简答题

如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1=am，a2=am-1，…，am=a1，即ai=am-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”。

例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”。

（1）设{bn}是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11，依次写出{bn}的每一项；

（2）设{cn}是49项的“对称数列”，其中c25，c26，…，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S；

（3）设{an}是100项的“对称数列”，其中d51，d52，…，d100是首项为2，公差为3的等差数列，求{dn}前n项的和Sn（n=1，2，…，100）。

正确答案

解：（1）设数列的公差为d，

则，解得d=3，

∴数列为2，5，8，11，8，5，2。

（2）

=67108861。

（3），

由题意，得是首项为149，公差为-3的等差数列，

当n≤50时，；

当51≤n≤100时，

，

综上所述，。

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}中，a1=，（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足，（n∈N*）．（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由。

正确答案

（1）证明：因为（n≥2，n∈N*），，

所以，当n≥2时，

，

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列。

（2）解：由（1）知，，

则，

设函数，

f（x）在区间（-∞，）和（，+∞）内为减函数，

又f（3）=-1，f（4）=3，

所以，当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3。

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和Sn=n2+（a-1）n；数列{bn}满足2bn=（n+1）an。

（1）若a1，a3，a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*都有bn≥b5成立，求实数a的取值范围；

（3）数列{cn}满足cn-cn-2=3·（-）n-1(n∈N*且n≥3，其中c1=1，c2=-；

f（n）=bn-|cn|，当-16≤a≤-14时，求f（n）的最小值（n∈N*）。

正确答案

解：（1）由，

当n=1时，；

当n≥2时，，

又因为，，成等比数列，所以，即

，a==-8，∴；

（2），

由题意得：，；

（3）因为

①当为偶数时：，

，........，

所以

=

即；

②当为奇数时：

，.......，

所以

即；

综合①②得

所以，

所以

则

因为数列对任意是单调递增数列，且

所以当n≥4时，

即

当n=4时，

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知Sn为数列{an}的前n项和，（Sn，1），（-1，2an+2n+1），，

（Ⅰ）求证：为等差数列；

（Ⅱ）若，问是否存在n0，对于任意k（k∈N*），不等式成立。

正确答案

解：（Ⅰ）∵，

∴，，

∴，

∴为等差数列。

（Ⅱ），

∴，

令，，

∴n≤2011，

bn的最大值为，

∴或2012。

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题型：简答题

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简答题

已知数列满足a1=0，a2=2，且对任意m，都有

（1）求a3，a5；

（2）求，证明：是等差数列；

（3）设，求数列的前n项和Sn。

正确答案

解：（1）由题意，令m=2，n=1可得。

再令m=3，n=1可得.

（2）当时，由已知（以n+2代替m）可得

于是，即。

所以，数列是首项，公差为8的等差数列。

（3），则。

另由已知（令m=1）可得，

那么，

=2n

于是，

当时，。

当时，两边同乘可得

上述两式相减即得=

所以

综上所述，，（q≠1）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=，数列{xn}的通项由xn=f（xn-1）（n≥2，且n∈N*）确定．

（1）求证：{}是等差数列；

（2）当时，求x100．

正确答案

（1）证明：（n≥2，n∈N*），

所以，，

即，（n≥2，n∈N*），

所以，数列{}是等差数列。

（2）解：由（1）知{}的公差为，

又因为，

所以，，

所以。

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}的前n项和为Sn，且…

（1）求a1，a2；

（2）求证：数列是等差数列，并求Sn的表达式．

正确答案

（1）解：当n=1时，

由已知得

解得

同理，可解得

（2）证明：由题设

当n≥2（n∈N*）时，an=Sn-Sn-1代入上式，得

∴

∴是首项为，公差为-1的等差数列，

∴

∴。

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