- 数列
- 共33563题
若数列{an}，满足an+1=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知
∵a1=
同理可得a3=2a2-1=
则此数列的周期是3，
∴a2013=a3×671=
故选C．
附加题（10分，总分120以上有效）
（1）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7=______
（2）若Sn=sin
正确答案
解：（1）解：∵f（x）=（x-3）3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）3+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3，
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故答案为：21．
（2）解：∵sin
∴S1=sin
S2=sin
S8=sin
…，
S12＞0，
而S13=sin
S14=S13+sin
又S15=S14+sin
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．
解析
解：（1）解：∵f（x）=（x-3）3+x-1，∴f（x）-2=（x-3）3+x-3，
令g（x）=f（x）-2，
∴g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，
∴f（a1）-2+f（a2）-2+…+f（a7）-2=0
∴g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（3，0）对称，所以a4=3，
∴a1+a2+…+a7=7a4=21，
故答案为：21．
（2）解：∵sin
∴S1=sin
S2=sin
S8=sin
…，
S12＞0，
而S13=sin
S14=S13+sin
又S15=S14+sin
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．
已知函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1-x），且函数f（x）在[1，+∞）上单调．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{an}的前25项之和为______．
正确答案
25
解析
解：∵函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1-x），
∴函数f（x）图象关于直线x=1对称，
又函数f（x）在[1，+∞）上单调，
数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），
∴a6+a20=2，
∴S25=
故答案为25．
数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn，n∈N*，则a2014=______．
正确答案
3×42012
解析
解：∵a1=1，an+1=3Sn，
∴a2=3a1=3，an=3Sn-1，n＞2，
相减得：an+1-an=3an，即an+1=4an，n≥2，
由此规律可得：a2014=3×42012
故答案为：3×42012
数列{-2n2+13n-1}中数值最大的项是第______项．
正确答案
3
解析
解：an=-2n2+13n-1=
∴当n=3时，an取得最大项．
故答案为：3．
设a＞0，an=n•an，若{an}是单调递减数列，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（0，
解析
解：∵an=n•an，∴
∵{an}是单调递减数列，
∴an+1-an=（n+1）an+1-nan＜0，
∵a＞0，
∴
∴
∵n≥1，
∴
∴a的取值范围是（0，
故答案为：（0，
观察数列：-1，3，-7，（ ）-31，63，括号中的数字应为（ ）
正确答案
解析
解：观察数列：-1，3，-7，（ ）-31，63，
可知规律：
∴括号中的数字为
故选：B．
在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色，先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第57个数是 ______．
正确答案
103
解析
第1个为1
第2，3个为2，4
第4，5，6个为5，7，9
第7到10个为：10，12，14，16
第11到15个为：17，19，21，23，25
第16到21个为：26，28，30，32，34，36
第22到28个为：37，39，41，43，45，47，49
第29到36个为：50，52，54，56，58，60，62，64
第37到45个为：65，67，69，71，73，75，77，79，81
第46到55个为：82，84，86，88，90，92，94，96，98，100，
第56，57两个是101，103，
∴第57 个数字是103，
故答案为：103．
（2015秋•宿松县校级月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a4-1）3+2016（a4-1）=1，（a2013-1）3+2016（a2013-1）=-1，则下列结论正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵（a4-1）3+2016（a4-1）=1，（a2013-1）3+2016（a2013-1）=-1，
∴（a4-1）3+2016（a4-1）+（a2013-1）3+2016（a2013-1）=0，
设a4-1=m，a2013-1=n．
则m3+2016m+n3+2016n=0，
化为（m+n）（m2+n2-mn+2016）=0，
∵m2+n2-mn+2016＞0，
∴m+n=a4-1+a2013-1=0．
∴a4+a2013=2．
∴S2016=
又a4-1＞0，a2013-1＜0．
∴a4＞1＞a2013，
故选：D．
（2015秋•衡阳校级月考）数列{3n2-28n}中，各项中最小的项是（ ）
正确答案
解析
解：∵
可知当n=5时，a5=-65＜a4=-64．
因此当n=5时，数列{an}取得最小值-65．
故选：B．
已知数列an=
正确答案
（2，8）
解析
解：因为数列an=
解不等
故答案为：（2，8）
已知数列{an}的通项an=（n+1）（
正确答案
解：∵an+1-an=（n+2）（
=（
∴当n＜9时，an+1-an＞0，即an+1＞an；
当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an；
当n＞9时，an+1-an＜0，即an+1＜an；
故a1＜a2＜a3＜＜a9=a10＞a11＞a12＞…．
∴数列{an}有最大项a9或a10，
其值为10•（
解析
解：∵an+1-an=（n+2）（
=（
∴当n＜9时，an+1-an＞0，即an+1＞an；
当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an；
当n＞9时，an+1-an＜0，即an+1＜an；
故a1＜a2＜a3＜＜a9=a10＞a11＞a12＞…．
∴数列{an}有最大项a9或a10，
其值为10•（
已知函数f（x）=cosx，记Sk=
正确答案
解析
解：∵Sk=
∴Tn=S1+S2+S3+…Sn，
=
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
易知：数列{Tn}是递减数列，且各项的值均大于1
故选B
已知数列{an}中，an=
正确答案
解：an=
当n＜16时，an＜1；当n≥16时，an＞1，且an单调递减．
因此数列{an}的最大项是第16项．
解析
解：an=
当n＜16时，an＜1；当n≥16时，an＞1，且an单调递减．
因此数列{an}的最大项是第16项．
（2015秋•重庆月考）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1，则通项公式an=______．
正确答案
解析
解：当n=1时，a1=S1=3-2+1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3（n-1）2-2（n-1）+1]=6n-5．
∴
故答案为：
扫码查看完整答案与解析