- 数列
- 共33563题
在数列
正确答案
解析
解：数列的被开方数组成的数列为2，5，8，11，…20，…是以2为首项，以3为公差的等差数列，通项公式为bn=2+3（n-1）=3n-1．由3n-1=20，得n=7，
所以2
故选B．
对于集合A={a1，a2…an} （n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=ai+aj，1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S（A）．
（1）若集合A={1，2，3，4}，则S（A）=______．
（2）若a1，a2，…，an是公差大于零的等差数列，则S（A）=______（用含n的代数式表示）．
正确答案
5
2n-3
解析
解：（1）当集合A={1，2，3，4}时，集合S={3，4，5，6，7}，
∴集合S中的元素个数S（A）=5；
（2）设等差数列a1，a2，…，an的公差是d，∴d＞0；
∴集合S={2a1+d，2a1+2d，2a1+3d，…，2a1+（2n-3）d}，
∴集合S中的元素个数S（A）=2n-3．
故答案为：5，2n-3．
正数数列{an}中，a1=3，an+1=ban+1（b是常数，n=1，2，3，…），且a1-1，a2+1，a3-1成等差数列．
（1）求b的值；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
正确答案
解：（1）∵a1-1，a2+1，a3-1成等差数列，
∴2（a2+1）=a3-1+a1-1，
∵a1=3，an+1=ban+1，
∴a2=3b+1，a3=（3b+1）b+1，
∴2（3b+1+1）=（3b+1）b+1-1+3-1，
解得b=2或-
∴b=2．
（2）an+1=2an+1，
变形为：an+1+1=2（an+1），
∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为4．
∴an+1=4×2n-1，
∴an=2n+1-1，
∴数列{an}的前n项和Sn=
=2n+2-4-n．
解析
解：（1）∵a1-1，a2+1，a3-1成等差数列，
∴2（a2+1）=a3-1+a1-1，
∵a1=3，an+1=ban+1，
∴a2=3b+1，a3=（3b+1）b+1，
∴2（3b+1+1）=（3b+1）b+1-1+3-1，
解得b=2或-
∴b=2．
（2）an+1=2an+1，
变形为：an+1+1=2（an+1），
∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为4．
∴an+1=4×2n-1，
∴an=2n+1-1，
∴数列{an}的前n项和Sn=
=2n+2-4-n．
某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为an（n∈N*），
则等级为50级需要的天数a50=______．
正确答案
2700
解析
解：由表格可知：an=5+7+…+（2n+3）=
∴a50=50×54=2700．
故答案为：2700．
设数列{an}满足a1=3，an+1=an2-2nan+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式an=______．
正确答案
2n+1
解析
解：∵a1=3，an+1=an2-2nan+2，
∴a2=a12-2a1+2=9-6+2=5，
a3=a22-2×2a2+2=25-20+2=7，
a4=a32-2×3a3+2=49-42+2=9，
即a2=5，a3=7，a4=9，
由归纳推理猜想an=2n+1．
故答案为：2n+1．
已知数列{an}，a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则数列的第五项为______．
正确答案
-6
解析
解：∵a1=3，a2=6，an+2=an+1-an，
∴a3=6-3=3，
a4=a3-a2=3-6=-3，
a5=a4-a3=-3-3=-6，
故答案为-6．
写出下列数列的一个通项公式：
（1）5，55，555，5555，55555，…；
（2）1，0，
正确答案
解；（1）∵5，55，555，5555，55555，…；
∴a1=
a2=
a3=
归纳得出：an=
（2）∵1，0，
∴a1=
a2=
a3=
a4=
a5=
归纳得出：an=
解析
解；（1）∵5，55，555，5555，55555，…；
∴a1=
a2=
a3=
归纳得出：an=
（2）∵1，0，
∴a1=
a2=
a3=
a4=
a5=
归纳得出：an=
已知数列的
正确答案
95
解析
解：由
故答案为：95．
设数列{an}前n项和为sn=an2+bn+c 给出下列命题：
①数列{an}的通项公式为an=2an+b-a；
②数列{an}是等差数列；
③当c=0时，数列{an}是等差数列，其中正确的命题个数为（ ）
正确答案
解析
解：∵sn=an2+bn+c，
∴当n＞1时，sn-1=a（n-1）2+b（n-1）+c
两式相减得，an=2na+b-a，
当n=1时，a1=s1=a+b+c，
则数列{an}的通项公式为an=2an+b-a显然不正确，
当c≠0时，数列{an}不为等差数列；
当c=0时，数列的通项公式为：
an=Sn-Sn-1=（an2+bn+c）-[a（n-1）2+b（n-1）+c]=2an+b-a，
又因为a2-a1=（4a-a）-（2a-a）=2a，
所以数列{an}是公差为2a的等差数列，
因此正确的命题有1个：③．
故选：B．
如果数列{an}的前n项和Sn=
正确答案
an=2•3n
解析
解：当n=1时，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
∴数列{an}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴
故答案为
若数列{an}的前n和为Sn，且Sn=n2-2n+1（n∈N+），则数列{an}的通项公式为______．
正确答案
解析
解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n+1-[（n-1）2-2（n-1）+1]=2n-3，
当n=1时，a1=S1=1-2+1=0，不适合上式，
∴数列{an}的通项公式
故答案为：
对于项数为m的数列{an}和{bn}，记bk为a1，a2，…，ak（k=1，2，…，m）中的最小值．若数列{bn}的前
5项是5，5，4，4，3，则a4可能的值是（ ）
正确答案
解析
解：若数列{bn}的前5项是5，5，4，4，3，
∴a1=5，
∵b2=5，∴a2≥5，
∵b3=4，∴a3=4，
∵b4=4，∴a4≥4，
∵b5=3，∴a5=3，
∴a4≥4，
即满足条件的只有D．
故选：D．
已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}
（1）求A；
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Sn∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
正确答案
（1）由x2+a≤|a+1|x，a∈R，
得
∴a＞1时，1≤x≤a；-1≤a≤1时，a≤x≤1；a＜-1时，-1≤x≤-a
∴a＞1时，A={x|1≤x≤a}；-1≤a≤1时，A={x|a≤x≤1}；a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}
（2）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，而当n=2时，S2=a+a2，若S2∈A，则1≤a+a2≤a，得
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}；而Sn=a+a2+…+an=
③当a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}，显然S1=a∉A，故不存在满足条件的实数a；
④当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}，S2n-1=-1，S2n=1，适合；
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}，S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n（1+a）
∵a2n＞0，1+a＞0，∴a2n（1+a）＞0，∴S2n+1＞S2n-1S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）
∵a2n+1=a2n•a＜0，1+a＞0，∴a2n+1（1+a）＜0，∴S2n+2＜S2n
又∵S2n+1-S2n=
∴S2n+1＜S2n
而S2=S1+a2＞S1，
故S1＜S3＜S5＜S7＜…＜S2n+1＜…＜S2n＜S2n-2＜…＜S4＜S2
故对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需
综上所述，a的取值范围是{a|0＜a≤
（理）已知函数f（x）=x2-5x，数列{an}的通项公式为an=n+
正确答案
令g（n）=|f（an）-14|=|an2-5an-14|=|（an-
∵an=n+
要使g（n）最小，（n+
∴令（n+
∴n+
∴n+
解得n=1或6，n的所有可能取值集合为{1，6}，
故答案为{1，6}；
一个等差数列{an}中，
正确答案
由题意可得：
因为数列{an}是等差数列，
所以设数列{an}的通项公式为：an=a1+（n-1）d，则a2n=a1+（2n-1）d，
所以
因为
所以a1-d=0或d=0，
所以
故答案为：{ 1 ， 
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