热门试卷

（1）证明：已知a1是奇数，假设ak=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak+1==m（m-1）+1是奇数．

根据数学归纳法，对任何n≥2，an都是奇数．

（2）法一：由an+1-an=（an-1）（an-3）知，an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3．

另一方面，若0＜ak＜1，则0＜ak+1＜=1；

若ak＞3，则ak+1＞=3．

根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜an＜1，∀n∈N+；

a1＞3⇔an＞3，∀n∈N+．

综上所述，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．

法二：由a2=＞a1，得a12-4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．

an+1-an=-=，

因为a1＞0，an+1=，所以所有的an均大于0，

因此an+1-an与an-an-1同号．

根据数学归纳法，∀n∈N+，an+1-an与a2-a1同号．

因此，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．

（Ⅰ）由Sn=2an+2n①，得Sn+1=2an+1+2n+1②，

②-①得，an+1=2an+1-2an+2n，即an+1-2an=-2n，

则-===-1，为常数，

所以数列{}是等差数列，且公差为-1，

由S1=2a1+2解得a1=-2，

所以=-2+（n-1）•（-1）=-n-1，

所以an=-(n+1)•2n-1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn===•2n-1，

则bn+1=(2010-n)•2n，当n=2011时，bn=0，

当n＞2011时，bn＜0，令==≥1，得n＞2011，所以bn＞bn+1，即b2012＞b2013＞…，

当n≤2010时，bn＞0，令==≥1，解得n≤2009，

所以n≤2009时，bn+1≥bn，所以0＜b1＜b2＜b3＜…＜b2009=b2010，

综上，b1＜b2＜b3＜…b2012＞b2013＞…，

所以数列{bn}存在最大值项，为第2009项或2010项；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，Sn=2an+2n=2[-（n+1）•2n-1]+2n=-n•2n，

所以|Sn|=n•2n，

则Tn=|S1|+|S2|+|S3|+…+|Sn|=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①，

2Tn=22+2•23+3•24+…+n•2n+1②，

①-②得，-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2，

所以Tn=（n-1）•2n+1+2，

所以===（n-2）•2n-1+1，

又an=•[-(n+1)•2n-1]=（n-2）•2n-1，

所以＞an．

①由题意可设an=kn+b

∵a1=3，a10=21，

∴，解可得，k=2，b=1

∴an=2n+3，a2005=4011

②由题意可得，b1=a2=7，b2=a4=11，b3=a6=15，b4=a8=19

猜想bn=4n+3

（1）证明：当t=2时，an+1=

∴an+1+1=

∴=

∴-=

∴{}是以为公差的等差数列；

（2）∵an+1==

∴==

令=bn，则bn+1=，b1==2

∴=+，=

∴=

∴=

∴an=

∴an+1-an=-=[n（1+t+…+tn）-（n+1）（1+t+…+tn-1）]

=[（tn-1）+…+（tn-tn-1）]=[（1+t+…+tn-1）+t（1+t+…+tn-2）+…+tn-1]

显然t＞0（t≠1）时，an+1-an＞0，∴an+1＞an；

（3）∵f（an+1）-f（an）=-=＜0，an+1＞an

∴an+1an-4＞0，{an}为递增数列

∴只需a1a2-4＞0

∴（2t-3）（t2-2）-4＞0

令f（t）=（2t-3）（t2-2）-4，则f′（t）=6t2-6t-8

∴t＞2时，f′（t）＞0，函数为增函数

∵f（2）=-2＜0，f（3）=17＞0

∴满足题意的最小正整数t存在，最小值为3．

（1）由f(x)=，又an=f()===an-1+（2分）

所以，{an}是以a1=1为首项，为公差的等差数列，即an=（n∈N*）（4分）

（2）当n为偶数，an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-an

所以 Sn=-(a2+a4+…an)=-=-n2-n（6分）

当n为奇数，则n-1为偶数，Sn=Sn-1+anan+1=-(n-1)2-(n-1)+=（8分）

综上：Sn=（10分）

（3）设b1=，公比q=＞0，则b1qn=•=（k，p∈N*）对任意的n∈N*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1（12分）

当m=3时，S=，此时b1=，bn=，成立                 （13分）

当m=5时，S=，此时b1=∉{}故不成立                   （14分）

m=7时，S=，此时b1=，bn=，成立                    （15分）

当m≥9时，1-≥，由S=，得b1≥，设b1=，则k≤，又因为k∈N*，所以k=1，2，此时b1=1或b1=分别代入S==，得到q＜0不合题意（18分）

由此，满足条件（3）的{bn}只有两个，即bn=或bn=（20分）

（1）在=3n2an+中分别令n=2，n=3，及a1=a

得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，

因为an≠0，所以a2=12-2a，a3=3+2a．                          …（2分）

因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，

即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）

经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn-1=

满足=3n2an+．

（2）由=3n2an+，得-=3n2an，

即（Sn+Sn-1）（Sn-Sn-1）=3n2an，

即（Sn+Sn-1）an=3n2an，因为an≠0，

所以Sn+Sn-1=3n2，（n≥2），①…（6分）

所以Sn+1+Sn=3（n+1）2，②

②-①，得an+1+an=6n+3，（n≥2）．③…（8分）

所以an+2+an+1=6n+9，④

④-③，得an+2-an=6，（n≥2）

即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，…（10分）

因为a2=12-2a，a3=3+2a．

∴an=  …（12分）

要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an+1，

且当n为偶数时，an＜an+1，即a＜12-2a，

3n+2a-6＜3（n+1）-2a+6（n为大于或等于3的奇数），

3n-2a+6＜3（n+1）+2a-6（n为偶数），

解得＜a＜．

所以M=（，），当a∈M时，数列{an}是递增数列．              …（16分）

（1）∵a1=，∴b1=1-=，b2===，

a2=1-b2=1-=，b3===，a3=1-b3=1-=．

∴a2=，a3=；

（2）证明：由an+1+bn+1=1，bn+1=，

∴1-an+1=bn+1===，

∴1-an+1=，即an-an+1=anan+1，

∴-=1

∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．

∴=4+(n-1)=3+n，则an=，

∴bn=1-an=1-=；

（3）由an=，

∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

=++…+

=-+-+…+-

=-=．

∴4λSn-bn=-=，

要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ-1）n2+（3λ-6）n-8＜0恒成立，

设f（n）=（λ-1）n2+3（λ-2）n-8

当λ=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，

当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，

当λ＜l时，对称轴n=-•=-(1-)＜0

f（n）在[1，+∞）为单调递减函数．

只需f（1）=（λ-1）n2+（3λ-6）n-8=（λ-1）+（3λ-6）-8=4λ-15＜0

∴λ＜，∴λ≤1时4λSn＜bn恒成立．

综上知：λ≤1时，4λSn＜bn恒成立．

证：（1）因为===-1+，

所以-=-1，n∈N*；

故{}是等差数列．

由此可得，=+(n-1)×(-1)=-n，

所以an=1-=，n∈N*．

（2）由条件bn=an•(-)n，

可知当n=2k，bn＞0；当n=2k-1时，bn≤0，k∈N*．

令|bn|=an•()n，则|bn+1|-|bn|=•()n+1-•()n=()n[•-]=()n•．

∴当-n2+5＞0⇒n≤2时，|bn+1|＞|bn|；

同理可得，当-n2+5＜0⇒n≥3时，|bn+1|＜|bn|；

即数列{|bn|}在n=1，2，3时递增；n≥4时，递减；

即|b3|是数列{|bn|}的最大项．

然而，因为{bn}的奇数项均为-|bn|，故b3=-•()3=-为数列{bn}的最小项；

而b2=()2==0.32，b4=•()4==0.3072，

所以b2＞b4，故b2是数列{bn}的最大项．

∴对任意的正整数m、n，|bn-bm|≤|b2-b3|=|+|=＜，

∴数列bn=an•(-)n，n∈N*是一个“域收敛数列”．

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，

由题意知

∴

∴a1=d，d=2．an=2n-1．（6分）

证明：（Ⅱ）由S()=1×+3×(

1

2

)2+…+(2n-1)×(

1

2

)n，①

则S()=1×(

1

2

)2+…+(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×()n+1②

①-②得，S()=+2[(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]-(2n-1)•(

1

2

)n+1

=+-(2n-1)•()n+1

=-()n-1-(2n-1)•()n+1＜（n是正偶数），

∴S()＜3.（13分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）得：；；

由③得：；

猜想                      ④ ……………8分

下面用数学归纳法证明猜想④成立.

（i）当时，，所以当时，④式成立；

（ii）假设时，④式成立，即，

当时，由③得

所以，当时，④式也成立.     ………………………………12分

由（i）（ii）可知，对一切自然数，④式都成立，即通项为：

. ………………………14分

略

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）由，得当时，，当时，，不满足，因此所求.

（Ⅱ）由，，可得递推公式，所以，，， ，，将上列各式两边累加可得，再根据等差数列前项和公式可求得（叠加消项法在求数列的通项、前项和中常常用到，其特点是根据等式两边结构特征，一边相加可消掉中间项，另一边相加可以得到某一特殊数列或是常数）.

（Ⅲ）由题意得当时，，当时，，所以所求，，

将两式相减得，

从而可求得（错位相减法是求数列前项和的常用方法，它适用于如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应各项之积构成的）.

试题解析：（Ⅰ）∵,

∴．              2分

∴．          3分

当时，，

∴                    4分

（Ⅱ）∵

∴，

，

，

，

以上各式相加得

．

∵ ，

∴．                     9分

（Ⅲ）由题意得

∴，

∴，

∴

=，

∴．                   13分

（1）n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-5n-1）-[（n-1）2-5（n-1）-1]=2n-6

n=1时，a1=S1=5，不符合上式

∴an=；

（2）Sn=n2-5n-1=(n-)2-

∴n=2或3时，Sn的最小值为-7．

（1）,（2）λ= 2或λ= 3,（3）不可能为等比数列.

试题分析：（1）求一般数列通项，常利用和项与通项关系，即当时, ,整理得，又由，得，

结合q>0知，数列是首项为q公比为的等比数列， ∴ （2）存在性问题，一般从假设存在出发，探求等量关系，将是否存在转化为是否有解. 结合（1）知，当q=2时，,所以,假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有(cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn 1)，将cn＝2n＋3n代入上式，整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ= 2或λ= 3.（3）首先利用特殊值探讨，得出结论是数列不可能为等比数列.说明也可根据特例. 由题意得c1c3 c22＝b1q(p2＋q2 2pq)，由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，所以 c1c3 c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比数列.

解：（1）当时,

,整理得                    2分

又由，得                3分

结合q>0知，数列是首项为q公比为的等比数列， ∴      5分

（2）结合（1）知，当q=2时，,所以                     6分

假设存在实数，使数列是等比数列，则对任意n≥2有

(cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn 1)，将cn＝2n＋3n代入上式，得：

[2n＋1＋3n＋1＋λ(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2＋λ(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n＋λ(2n 1＋3n 1)]，

即    [(2＋λ)2n＋(3＋λ)3n]2＝[(2＋λ)2n＋1＋(3＋λ)3n＋1][(2＋λ)2n 1＋(3＋λ)3n 1］，

整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ= 2或λ= 3.            10分

故存在实数实数＝ 2或 3，使数列是等比数列.           11分

（3）数列不可能为等比数列.                   12分

理由如下：

设等比数列｛bn｝的公比为p，则由题设知p≠q，则cn=qn＋b1pn 1

为要证｛cn｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3.

事实上，

c22＝（q2＋b1p）2＝q4＋2q2b1p＋b12p2，           ①

c1·c3＝(q＋b1)(q3＋b1p2)＝q4＋b12p2＋b1q(p2＋q2），     ②

②-①得

c1c3 c22＝b1q(p2＋q2 2pq)

由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，

所以 c1c3 c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比数列.             16分