椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，设点是椭圆上任一点，求的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）设椭圆的方程为由椭圆定义，

∴ .故所求的椭圆方程为.

（2）设

∴

∵点在椭圆上，∴∴

∵

∴有最小值；，有最大值

∴，∴的范围是

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知点是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，

离心率为，椭圆的左右焦点分别为F1和F2 。

（1）求椭圆方程；

（2）点M在椭圆上，求⊿MF1F2面积的最大值；

（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）设椭圆方程为.

由已知，

， . 解得

∴所求椭圆方程为

（2）令，

则

∵，故的最大值为

∴当时，的最大值为。

（3）假设存在一点P, 使，∴，

∴⊿PF1F2为直角三角形，∴ ①

又∵ ②

∴②2－①，得 ∴

即=5，但由（1）得最大值为，故矛盾，

∴不存在一点P, 使

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，焦距为，是椭圆上一动点，的面积最大值为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，，求证：为定值。

正确答案

见解析

解析

（1）设椭圆的标准方程为。

因为焦距为，所以c=。

当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，

所以此时△PF1F2的面积最大，

所以，所以。

因为，所以，

椭圆方程为。 ……………………5分

（2）依题意，直线的斜率存在，可设为，则直线：，

设，，

联立消y得。

显然，且，。

因为直线交轴于点，所以。

所以，，且

所以，同理。

所以 .

即为定值是. ……………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆右顶点到右焦点的距离为，短轴长为。

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程。

正确答案

（1）

（2）或

解析

（1）解：由题意，

解得，

即：椭圆方程为 ------------4分

（2）解：当直线与轴垂直时，，

此时不符合题意故舍掉； -----------6分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

代入消去得：，

设，则 -----------8分

所以， ------------11分

由， ------------13分

所以直线或， ---------14分

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的相关应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图（5），设点、分别是椭圆

的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为。

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线，若、均与椭圆

相切，证明：；

（3）在（2）的条件下，试探究在轴上是否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）设，则有，

由最小值为得，

∴椭圆的方程为，

（2）把的方程代入椭圆方程得

∵直线与椭圆相切，∴，化简得

同理可得：

∴，若，则重合，不合题意，

∴，即

（3）设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，则

，即，

把代入并去绝对值整理，

或者

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立

则，解得；

综上所述，满足题意的定点存在，其坐标为或

知识点

椭圆的定义及标准方程

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