· 椭圆及其性质

· 椭圆的定义及标准方程

椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

21．设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求线段中点的轨迹方程；

（3）若直线的斜率为1，在椭圆上求一点，使三角形MAC面积最大。

正确答案

（1）椭圆方程为．

（2）设，，，

则①，

②

①②得，

因，

所以，

即（）．

（3）设平行于的直线方程为，

代入椭圆方程得

．

△，

解得，（舍）．

把代入上式

解得，

从而解得．

把代入椭圆方程

整理得，

，

边上高的最大值，

所以．

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椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆的右焦点为，长轴的长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和，求的最小值．

正确答案

解：（1）由题可知：椭圆的焦点在轴上，其标准方程可设为：

又长轴的长为，则，；，故.

故椭圆的标准方程为：

（2）由题可知：

①当或所在的直线斜率为零时，另一条直线的斜率不存在，此时=

②当与所在的直线斜率都存在，而且不为零时，

设所在直线的斜率为，则所在的直线斜率为.

则所在直线方程为：.

联立得：，即.

设两点的横坐标分别为则由韦达定理可得：

则=

=

=

以代换上式中的可得：

则+

令，则.此时

.

由二次函数的性质可得：.故.

此时，即.

综上可知：当时取得最小值，最小值为.

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椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

19.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为。直线与椭圆C交于A，B两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若线段AB的垂直平分线通过点，证明：。

正确答案

（1）设椭圆的标准方程

由已知可得

解得.

故椭圆的标准方程.

（2）联立方程，消得：.

当，即时，

，.

所以，.

又，化简整理得：.

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1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．设椭圆的焦点为，以为直径的圆与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________.

正确答案

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1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知椭圆，过点的直线与原点的距离为。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，求直线的方程。

正确答案

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