椭圆的定义及标准方程
共448题

椭圆的定义及标准方程
共448题

热门试卷

题型：填空题

填空题 · 12 分

20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心在原点，经过点A(0,1), 其左、右焦点分别为F1、F2，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(-,0)的直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O:x2+y2=r2(r>0)相切于点Q，求r的值及△OPQ的面积．

正确答案

（Ⅰ）椭圆E的方程为（Ⅱ），

解析

（Ⅰ）依题意，设椭圆E的方程为

因为E过点A（0，1），所以b = 1

因为，且AF1=AF2，所以

所以椭圆E的方程为。

（Ⅱ）设直线联立

整理得①

所以

因为直线与椭圆相切，所以，解得

代入方程①中得，解得

代入直线的方程中解得，即

又因为直线与圆相切，所以

因为，所以

所以

考查方向

通过椭圆的定义及几何性质，圆与椭圆的方程，直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查考生数形结合及函数与方程的思想方法，考查考生推理运算、空间想象能力及运算求解能力，是近几年的高频考点，也是高考中圆锥曲线必不可少的内容。

解题思路

解题步骤如下：由于椭圆经过点A(0,1)，根据其性质可得b =1；设出椭圆焦点坐标，根据，即可求出a的值；由于直线过点(-,0)，可设出直线l的方程，即可求出直线l的斜率k；根据直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，且与圆O相切于点Q，即可求出点P的坐标、r的值和线段OP、PQ的长，从而得到△OPQ的面积．

易错点

本题是综合性比较强的大题，涉及到的的知识点比较多，计算量较大，所以在计算时发生错误。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，

离心率为.

（1）求椭圆的方程;

（2）若直线与椭圆相交于两点(异于点),线段被轴平分，且,求直线的方程。

正确答案

（1）；

（2）．

解析

试题分析:此题是直线与圆锥曲线的常见题型，运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理，设而不求等方法技巧，把几何关系转化为代数运算。

（1）由条件知椭圆离心率为

，

所以．

又点A(2，1)在椭圆上，

所以，

解得

所以，所求椭圆的方程为．

（2）将代入椭圆方程，得，

整理，得． ①

由线段BC被y轴平分，得，

因为，所以．

因为当时，关于原点对称，设，

由方程①，得，

又因为，A(2，1)，

所以，

所以．

由于时，直线过点A(2，1)，故不符合题设．

所以，此时直线l的方程为．

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线与椭圆的交点，直线斜率等基础知识．考查运算能力．难度中等。

解题思路

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线与椭圆的交点，直线斜率等基础知识。解题步骤如下：

把点代入椭圆方程进而求出方程

把垂直关系转化为点的坐标运算。

易错点

第一问对椭圆中的a,b,c表示的意义不明确；

第二问中不能把垂直关系与二次方程的解和点的坐标结合起来考虑。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为,直线,为点关于直线对称的点,若为等腰三角形,则的值为 __________________

正确答案

解析

由题意可得：

考查方向

本题考查了椭圆的概念和性质，以及直线的对称性。

解题思路

根据点关于直线的对称性，对称轴上的点到两边距离相等，可以得到关系。

易错点

计算量大，所以容易出现运算错误。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

23.求圆的方程；

24.过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为.

∵　∴　，解得．

∴　圆的方程为．

考查方向

本题考查了求圆的方程、直线与椭圆位置关系等知识点。

解题思路

（1）利用相关知识求圆方程；

（2）联立方程组，把角相等转化为斜率之和为0，即可求证．

易错点

对题中条件的处理容易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见证明

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

把代入方程，解得或，

即点．

（1）当轴时，可知=0．

（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．

联立方程，消去得，

设直线交椭圆于两点，则

，．

∴ ．

考查方向

本题考查了求圆的方程、直线与椭圆位置关系等知识点。

解题思路

（1）利用相关知识求圆方程；

（2）联立方程组，把角相等转化为斜率之和为0，即可求证．

易错点

对题中条件的处理容易出错。

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．椭圆，是椭圆与轴的两个交点，为椭圆C的上顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线与轴交于点，交椭圆于、两点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．

正确答案

（1）；（2）.

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（1），，

，

．

（2）由（1）知，得，

可设椭圆的方程为：

设直线的方程为：，直线与椭圆交于两点

得

因为直线与椭圆相交，所以，

由韦达定理：，．

又，所以，代入上述两式有：，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

此时，

代入，有成立，所以所求椭圆的方程为：．

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：1、利用e和c求a,b。2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中的分类讨论。

知识点

椭圆的定义及标准方程

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