椭圆的定义及标准方程_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到ADlC，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（）

A椭圆的一段

B抛物线的一段

C一段圆弧

D双曲线的一段

正确答案

C

解析

考查方向

本题考查轨迹方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，有一定难度．

解题思路

过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，然后证明在翻折过程中，BD中点到BE的中点的距离为定值得答案．

易错点

几何性质出现错误。

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为且点在上．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点，求直线的方程和线段AB的长．

正确答案

（1）；（2）当直线为时，|AB|=；

当直线为时， |AB|=；

解析

（Ⅰ）由题意得：，------------------------------3分

故椭圆的方程为：---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）依题意可知直线存在斜率，设直线

由----------------①------------------5分

直线与椭圆相切②-----6分

由-----------------------③----------------------7分

直线与抛物线相切④-----8分

由②、④消去k得：，解得或，-------------------------9分

由②知，故不合舍去，由得---------------------------10分

直线的方程为

当直线为时，由①易得由③易得，此时|AB|=；

当直线为时，由图形的对称性可得|AB|=．

综上得直线的方程为或，线段|AB|=.----------------12分

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

第（1）问直接根据题中条件列方程组求解即可；第（2）问先设直线l的方程，然后分别将l的方程与圆和椭圆的方程联立消元得到判别式等于0得到关于m和k的方程组求解即可。

易错点

在第（2）问中联立消元时运算求解出错；不会转化题中给出的条件直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知曲线C的方程是（m＞0，n＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点．

23.求曲线C的方程；

24.设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，向量p＝（x1，y1），q＝（x2，y2），且p·q＝0，若直线MN过（0，），求直线MN的斜率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）由题可得：，解得

所以曲线方程为

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程为得：

∴，

∴=

∴

即

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

15.椭圆的右焦点F(c，0)关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．

正确答案

解析

试题分析：利用点F关于直线的对称点Q在椭圆上，由a，b，c的关系列方程求出椭圆的离心率。

设Q(m，n)，由题意可得，解得：，代入椭圆方程可得：，整理可得，

可得，．即，

可得，解得．

故答案为：.

考查方向

本题考查了椭圆的方程简单性质的应用、对称知识和计算能力，属于中等题．

解题思路

设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．

易错点

点关于直线的对称点的求法，.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知椭圆的中心在坐标原点，以椭圆中的a,b,c为边可以构成一个三角形ABC,且在三角形ABC中满足一个等式,椭圆的离心率为；

23.求椭圆的方程；

24.若椭圆上存在不同两点关于直线对称，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）设椭圆的方程为，于是由，结合正弦定理可以化为，又，

从而，

所以椭圆的方程为

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程的求解。

解题思路

根据已知条件构造方程组解出即可。

易错点

不知道准线怎么转化。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）设椭圆上有两点，关于直线对称，则①②

两式相减整理得

设中点为，于是有又点在直线上，即，解得，，而在椭圆内，所以，

即，解得

考查方向

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题。

解题思路

根据步骤来计算。

易错点

不会用设而不求的方法来求解。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，其上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求面积的取值范围.

正确答案

（1）；（2）

解析

试题分析：本题属于直线和椭圆位置关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）根据已知条件构造方程组；

（2）用设而不求的方法将面积表示成关于斜率的表达式，然后换元求出面积的取值范围。

（1）设椭圆的标准方程为，由条件得，

所以椭圆的方程

（2）设，由，得，

故 ①

设的面积为，由，知

令则，因此，

对函数，知

因此函数在上单增，

因此，

考查方向

本题考查了直线和椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线和椭圆的位置关系，解题步骤如下：

（1）根据已知条件构造方程组；

（2）用设而不求的方法将面积表示成关于斜率的表达式，然后换元求出面积的取值范围。

易错点

第二问不会用设而不求的方法来解决。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的相关应用直线与椭圆的位置关系

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点(0，1)在短轴CD上，且＝－1

25．求椭圆E的方程；

26.设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)

又点P的坐标为(0，1)，且＝－1

于是，解得a＝2，b＝

所以椭圆E方程为.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

1.第（1）问直接根据题中给出的条件求解即可；

易错点

1.第（1）问的运算出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

λ＝－1

解析

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1

A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)

联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0

其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0

所以

从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]

＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝

＝－

所以，当λ＝1时，－＝－3

此时，＝－3为定值

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD

此时＝－2－1＝－3

故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

.第（2）问先联立消元导出韦达定理后代人要求的式子得到定值即可。

易错点

第（2）问的运算出错；第（2）问的＝－不会计算如何为定值。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，已知椭圆的四个顶点分别为,左右焦点分别为，若圆C：()上有且只有一个点满足，

（1）求圆C的半径；

（2）若点为圆C上的一个动点，直线交椭圆于点,

交直线于点,求的最大值；

正确答案

（1）；（2）

解析

试题分析：本题属直线与圆锥曲线的位置关系的问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）利用设而不求的方法再结合基本不等式来求解。

试题解析：：（1）依题意得，

设点，由得：，化简得，

∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，又∵点在圆上并且有且只有一个点，即两圆相切，

当两圆外切时，圆心距，成立

当两圆内切时，圆心距，不成立

∴ （2）设直线为，

由得, 联立，消去并整理得：，

解得点的横坐标为，

把直线：与直线：联立解得点横坐标 8分

所以 11分

(∵求最大值，显然为正才可能取最大，)

当且仅当时，取等号，

∴的最大值为；

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）直接按照步骤来求；（2）利用设而不求的方法再结合基本不等式来求解。

易错点

计算量大容易算错。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 如图：A,B,C是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点.

（I）求椭圆的方程；

（II）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE.设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为，证明：.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

1）根据离心率得到a,b的关系，根据点在椭圆上联立求出椭圆方程

2）设点p，根据要求求出直线AP，与直线BC求出点D

3）根据直线CP得到点E

4）使用两点间斜率公式得到DE斜率，化简得到结论

易错点

本题主要有以下几个错误：

1）椭圆方程求错

2）找不到有效突破点，导致运算量加大，无法得出理想结果

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．

27.求椭圆的方程；

28.设椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点．

（i）求证：线段的中点在直线上；

（ii）求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）．

解析

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题意可知．

∵椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，∴．

由得．

∴椭圆的方程为．

考查方向

本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查考生运算求解能力和构造函数等知识。

解题思路

直接根据椭圆的基本量直接带入求解即可；

易错点

在运算时算数出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（i）略；（ii）．

解析

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为，它的右焦点为．

（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线的方程为，此时线段的中点为，点的坐标为，直线的方程为，线段的中点在直线上．

（2）当直线的斜率存在时，若直线的斜率为，则直线的方程为，与不相交，所以直线的斜率不为．设直线的方程为，则直线的方程为．

设两点的坐标分别为，线段的中点为．

由得．

判别式，

．

则，．

由得点的坐标为，∴直线的斜率为，

∴直线的方程为．∴，

∴线段的中点在直线上．

（ii）（1）当直线的斜率不存在时，由得，．

∴，此时．

（2）由（i）知直线的斜率不为，所以当直线的斜率存在且不为时，

，．

．

令，

则∵，∴，，∴．

此时．∴的取值范围为．

考查方向

本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查考生运算求解能力和构造函数等知识。

易错点

不会构造函数，导致无法入手。

【解题思路

第（1）小问先求出线段的中点为，然后求直线ON的方程带入即可。

第（2）问先求，构造函数后求函数的值域即可。

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