- 椭圆的几何性质
- 共137题
若抛物线的焦点与椭圆
的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为
.
正确答案
解析
椭圆的右焦点右焦点为
,故
,故该抛物线的准线方程为
知识点
如图,已知椭圆过点.
,离心率为
,左、右焦点分别为
、
.点
为直线
上且不在
轴上的任意 一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
、
和
、
,
为坐标原点。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线、
的斜线分别为
、
.
(i)证明:;
(ii)问直线上是否存在点
,使得直线
、
、
、
的斜率
、
、
、
满足
?若存在,求出所有满足条件的点
的坐标;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)解:因为椭圆过点(1,),e=
,
所以,
.
又a2=b2+c2,
所以,故所求椭圆方程为
.
(2)(i)设点P(,
),则
=
,
=
,因为点
不在
轴上,所以
,又
=2,所以
=
,
因此结论成立。
知识点
已知椭圆的离心率为
,右焦点为
,斜率为1的直线
与椭圆
交于
两点,以
为底边作等腰三角形,顶点为
。
(1) 求椭圆的方程;
(2) 求的面积。
正确答案
(1)1
(2)
解析
(1)由已知得,解得
,又
。
所以椭圆的方程为
。
(2)设直线l的方程为由
得
。
设、
的坐标分别为
中点为
,则
。
因为是等腰
的底边,所以
⊥
,所以
的斜率
,解得
,此时方程①为
,解得
。
所以,所以|
|=
,此时,点
到直线
:
的距离
,所以
的面积
。
知识点
设数列是首项为
,公比为
的等比数列,则
正确答案
15
解析
由题意知,
,
,
,所以;
;
知识点
已知抛物线C:与圆
:
有一个公共点
,且在
处两曲线的切线为同一直线上。
(1)求;
(2)设是异于
且与
及
都切的两条直线,
的交点为
,求
到
的距离。
正确答案
见解析。
解析
(1)设,对
求导得
,故直线
的斜率
,当
时,不合题意,所心
圆心为,
的斜率
由知
,即
,解得
,故
所以
(2)设为
上一点,则在该点处的切线方程为
即
若该直线与圆相切,则圆心
到该切线的距离为
,即
,化简可得
求解可得
抛物线在点
处的切线分别为
,其方程分别为
①
②
③
②-③得,将
代入②得
,故
所以到直线
的距离为
。
知识点
椭圆为定值,且
的的左焦点为
,直线
与椭圆相交于点
、
,
的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______。
正确答案
解析
根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又
知识点
从椭圆(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )。
正确答案
解析
由题意知A(a,0),B(0,b),P,
∵AB∥OP,
∴.∴b=c.
∵a2=b2+c2,∴.
∴.故选C。
知识点
已知椭圆C:.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且
,求线段AB长度的最小值.
正确答案
(1)。
(2)长度的最小值为
。
解析
(1)由题意,椭圆的标准方程为
。
所以,
,从而
。
因此,
,故椭圆
的离心率
。
(2)设点,
的坐标分别为
,
,其中
。
因为,
所以,
即,解得
。
又,所以
。
因为,且当
时等号成立,所以
。
故线段长度的最小值为
。
知识点
已知双曲线和椭圆
有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .
正确答案
解析
知识点
已知a=log23+log2,b=log29-log2
,c=log32,则a,b,c的大小关系是( )
正确答案
解析
a=log23+=
,b=log29-
=
,因此a=b,而
>log22=1,log32<log33=1,所以a=b>c,故选B项
知识点
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