椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：单选题

单选题 · 5 分

6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到ADlC，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（）

A椭圆的一段

B抛物线的一段

C一段圆弧

D双曲线的一段

正确答案

解析

考查方向

本题考查轨迹方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，有一定难度．

解题思路

过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，然后证明在翻折过程中，BD中点到BE的中点的距离为定值得答案．

易错点

几何性质出现错误。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为且点在上．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点，求直线的方程和线段AB的长．

正确答案

（1）；（2）当直线为时，|AB|=；

当直线为时， |AB|=；

解析

（Ⅰ）由题意得：，------------------------------3分

故椭圆的方程为：---------------------------------------------------4分

（Ⅱ）依题意可知直线存在斜率，设直线

由----------------①------------------5分

直线与椭圆相切②-----6分

由-----------------------③----------------------7分

直线与抛物线相切④-----8分

由②、④消去k得：，解得或，-------------------------9分

由②知，故不合舍去，由得---------------------------10分

直线的方程为

当直线为时，由①易得由③易得，此时|AB|=；

当直线为时，由图形的对称性可得|AB|=．

综上得直线的方程为或，线段|AB|=.----------------12分

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

第（1）问直接根据题中条件列方程组求解即可；第（2）问先设直线l的方程，然后分别将l的方程与圆和椭圆的方程联立消元得到判别式等于0得到关于m和k的方程组求解即可。

易错点

在第（2）问中联立消元时运算求解出错；不会转化题中给出的条件直线与椭圆切于A点，与抛物线切于B点。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知曲线C的方程是（m＞0，n＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点．

23.求曲线C的方程；

24.设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，向量p＝（x1，y1），q＝（x2，y2），且p·q＝0，若直线MN过（0，），求直线MN的斜率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）由题可得：，解得

所以曲线方程为

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程为得：

∴，

∴=

∴

即

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的中心在坐标原点，以椭圆中的a,b,c为边可以构成一个三角形ABC,且在三角形ABC中满足一个等式,椭圆的离心率为；

23.求椭圆的方程；

24.若椭圆上存在不同两点关于直线对称，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）设椭圆的方程为，于是由，结合正弦定理可以化为，又，

从而，

所以椭圆的方程为

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程的求解。

解题思路

根据已知条件构造方程组解出即可。

易错点

不知道准线怎么转化。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）设椭圆上有两点，关于直线对称，则①②

两式相减整理得

设中点为，于是有又点在直线上，即，解得，，而在椭圆内，所以，

即，解得

考查方向

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题。

解题思路

根据步骤来计算。

易错点

不会用设而不求的方法来求解。

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，其上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与曲线交于两点，求面积的取值范围.

正确答案

（1）；（2）

解析

试题分析：本题属于直线和椭圆位置关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）根据已知条件构造方程组；

（2）用设而不求的方法将面积表示成关于斜率的表达式，然后换元求出面积的取值范围。

（1）设椭圆的标准方程为，由条件得，

所以椭圆的方程

（2）设，由，得，

故 ①

设的面积为，由，知

令则，因此，

对函数，知

因此函数在上单增，

因此，

考查方向

本题考查了直线和椭圆的位置关系。

解题思路

本题考查直线和椭圆的位置关系，解题步骤如下：

（1）根据已知条件构造方程组；

（2）用设而不求的方法将面积表示成关于斜率的表达式，然后换元求出面积的取值范围。

易错点

第二问不会用设而不求的方法来解决。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的相关应用直线与椭圆的位置关系

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