热门试卷

（1）解：法1：

法2：

法3：

…………………3分

（2）每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;

①如果首先操作第三列，则

则第一行之和为，第二行之和为，

这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，

所以 或

当时，则接下来只能操作第一行，

此时每列之和分别为

必有，解得

当时，则接下来操作第二行

此时第4列和为负，不符合题意.                      …………………6分

② 如果首先操作第一行

则每一列之和分别为，，，

当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉

当时，，至少有一个为负数，

所以此时必须有，即，所以或

经检验，或符合要求

综上：                           …………………9分

（3）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。证明如下：

记数表中第行第列的实数为（），各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，，，数表中个实数之和为，则。记

。

按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起（和）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。                                    …………………13分