热门试卷

（Ⅰ）为的四等分点；（Ⅱ） .

试题分析：（Ⅰ）用向量法的解题步骤是建立恰当的空间直角坐标系，写出相应的点的坐标及向量的坐标，利用向量的数量积为0，则这两个向量垂直，得出结论；（Ⅱ）二面角的问题，找到两个平面的法向量的夹角，利用向量的夹角公式求解.

试题解析：方法一：

(Ⅰ)如图，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则

易得       2分

由题意得,设

又

则由得，

∴,得为的四等分点.         6分

(Ⅱ)易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为

则,得，取，得，      10分

∴，∴二面角的平面角余弦值为.12分

方法二：

（Ⅰ）∵在平面内的射影为，且四边形为正方形，为中点， ∴

同理，在平面内的射影为，则

由△～△， ∴,得为的四等分点.        6分

（Ⅱ）∵平面,过点作，垂足为；

连结，则为二面角的平面角；          8分

由，得,解得

∴在中，,

∴；∴二面角的平面角余弦值为.  12分

（I）如图建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），

B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2）．

，，

设平面的法向量是，

∴，取，得，           …………（4分）

（II）假设存在，使得，则，

∴，∵，∴

∴当是线段的中点时，异面直线与所成角余弦值等．

略

（1）.（2）在线段上存在一点满足条件，且长度为.

由题意得射线 AB、AD、AP两两垂直，可以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助于向量求解。（1）要注意异面直线与所成角的余弦值非负；（2）设存在点，，由点到平面的距离恰为，可得根据两点间的距离公式得

（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）60°

（I）连结DF，DC　∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，

　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC

　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C                                             3＇

　　∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，

　　在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，

　　＝B1F2＋＝5a2，　∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1

FC1⊥EF                                                               

　　（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角                                    

　　在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，

　　∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上                                

　　故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。

（1）证明：如图所示，

连接B1C交BC1于E，连接DE，

∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴B1E=EC．

又AD=DC．

∴DE∥AB1，

而DE⊂平面C1DB，AB1⊄平面C1DB，

∴AB1∥平面C1DB．

（2）由（1）知∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，

在△DEB中，DE=5，BD=4，BE=5．

∴cos∠DEB==．

（1）证明：△ABD中

∵AB=AD=，O是BD中点，BD=2

∴AO⊥BD且AO==1

△BCD中，连接OC∵BC=DC=2

∴CO⊥BD且CO==

△AOC中AO=1，CO=，AC=2

∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO

∴AO⊥平面BCD

（2）取AC中点F，连接OF．OE．EF

△ABC中E．F分别为BC．AC中点

∴EF∥AB，且EF=AB=

△BCD中O．E分别为BD．BC中点

∴OE∥CD且OE=CD=1

∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角）

又OF是Rt△AOC斜边上的中线∴OF=AC=1

∴等腰△OEF中cos∠OEF==

（I）同解析（II）直线与平面所成的角的大小为.

（I）由，―――――――――――（2分）

得.　―――――――――――――――――――－（5分）

（II）平面的法向量为，　――――――――――――――（8分）

，　―――――――――――――――――――――――――――（10分）

于是，　――――――――――――――――――――――（11分）

于是直线与平面所成的角的大小为.　――――――――－（12分

（1）异面直线与所成的角的余弦值为；（2）A到EF的距离为．

（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知得

A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F（1，0，2）；

∴=（0，2，0），=（1，，1），=（1，0，），

∴ ||=2，||=，=；

= , =，

∴与夹角的余弦值为cos==．

∵异面直线所成角的范围是，向量的夹角范围是；

∴异面直线与所成的角的余弦值为．

（2）由（1）得=，||=；

∴在方向上的射影为=，

∴A到EF的距离为．

解：（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

略

（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，由，有面,从而得到线线垂直；（Ⅱ）作，垂足为，则面，连接，得到直线与平面所成的角为,求得.

试题解析：

（Ⅰ）证明面面 又 面

（Ⅱ）解：作，垂足为，则面，

连接

设，则，设

由题意

则

解得

由（Ⅰ）知面

直线与平面所成的角的正弦值，.

（1）（2）

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目.

知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90°.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

∴BD1与AC所成角的余弦值为