热门试卷

（Ⅰ）证明：以的中点为原点，分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标，则

∴

∴即

又∵    ∴平面  ………………………………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面的一个法向量，

且于是

设直线与平面所成的角为，则

故，直线与平面所成角的正弦值为

略

（1） 解法1

证明：∵平面，平面，

∴，                                

又，平面，

∴平面.     …………2分

过作交于，则平面.

∵平面，

∴.            …………4分

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

∴，                                        ……………6分

又平面，平面,

∴⊥平面.                            ………………………7分

∵平面,

∴.                             ………………………8分

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴                              ……………………9分

取的中点，连结，

∵四边形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥

∴是二面角的平面角，   ………………………12分

由计算得

∴            ………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………………………14分

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴两两垂直.   ……………………2分

以点E为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）.      …………………………4分

∴，，………6分

∴,    ………7分

∴.   …………………………8分

（2）由已知得是平面的法向量.       ………………………9分

设平面的法向量为，

∵，

∴，即，令,得. ……………12分

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则  …………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.  …………………………14分

略

（2）

(1)

,

(2)

分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示

,与所成角为，

则

设,则,

,

设、的一个法向量分别为，则

由，

即，

解得

同理：由，解得

由题意：，

而

，化简并整理得：，

设的一个法向量分别为，则

由，即，解得

∴与平面所成角的大小为

（1）（2）（3）

（1）作PO⊥平面ABCD于O，则PO⊥AD，又∵PB⊥AD，

∴AD⊥平面POB，连OB交AD于E，则PE⊥AD，BE⊥AD，

得∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.∴∠PEB=120°，

在边长为2正△PAD中，易得AE=，∴为所求；

（2）易证Rt△PAE≌Rt△BAE（直角边、斜边）.∴BE=PE=，∴PB=3.又在Rt△PBC中.∵AB∥DC，∴PD与AB所成角即为PD与DC所成角.在△PDC中，由余弦定理得.∴PD与AB所成角大小为.

（3）取PB中点G及PC中点F，则GF∥BC，而BC⊥PB，∴GF⊥PB；又∵AP=AB，∴AG⊥PB，于是∠AGF为所求平面角.由（2）所证知PE=BE，∴∠PEG=60°，,∴Rt△GAE中, ，∴.

解法2：建立如图坐标系,则,先证明及,从而知B,

G，A，C.然后由，如与所成的角即为所求平面角.∵，∴平面角.

注：（2）题中可由得.

略

(1) (2)

试题分析：解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．

∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．

∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．

∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．

∴tan∠FEH===．……6分

（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．

∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．

∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．

∵A1A=2，AO=A1O=．

∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．……12分

解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），

C（2，0，0），A1（0，2，2）．

（1）=（1，－1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．

∴cos<，>=．

设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．

∴sinθ=，从而tanθ=．……6分

（2）∵=（2，－2，－2）．∴cos<，>=．

∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．……12分

点评：解决的关键是根据异面直线所成角的定义， 以及线面角的概念，结合向量法来得到，属于基础题。

解：法1：（1）连结，

∵平面，平面，

∴，……………………… 1分

又∵，，

∴平面，…………………. 2分

又∵，分别是、的中点，

∴，………………………….3分

∴平面，又平面，

∴平面平面；……………4分

（2）连结，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故 ………………………………………8分

（3）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，点为的中点，∴，

∴为所求二面角的平面角， ……………………………9分

∵点是的中点，∴，

所以在矩形中，

可求得，，，………………………10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值为．……………………………………12分

法2：（1）同法1；

（2）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，

∴，，

设点的坐标为，平面的法向量为，则，

所以，即，令，则，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即点为线段上靠近的四等分点；

故 …………………………………………………………………8分

（3），则，设平面的法向量为，

则，即，………9分

令，则，，

即，……………………………10分

当是中点时，，

则，

∴，

∴二面角的余弦值为．……12分

略