- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
用符号语言表示语句：直线a经过平面α外一点M______．
正确答案
M∉α，M∈a
解析
解：∵直线a经过平面α外一点M，∴M∉α，M∈a．
故答案为M∉α，M∈a．
正确答案
解：平行，理由如下；
连接GE、AE和OF，
∵G、E分别是PB、PF的中点，
∴GE∥BF，GE⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴GE∥平面BDF；
同理OF∥AE，AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，
∴AE∥平面BDF；
又AE∩GE=E，AE⊂平面AGE，GE⊂平面AGE，
∴平面AGE∥平面BDF．
解析
解：平行，理由如下；
连接GE、AE和OF，
∵G、E分别是PB、PF的中点，
∴GE∥BF，GE⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴GE∥平面BDF；
同理OF∥AE，AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，
∴AE∥平面BDF；
又AE∩GE=E，AE⊂平面AGE，GE⊂平面AGE，
∴平面AGE∥平面BDF．
如果三个平面两两相交，那么它们的交线有______条．
正确答案
1或3
解析
解：当三个平面有公共的一条交线时，
显然满足题意，此时交线只有一条；
当该三个平面为三棱锥的三个侧面时，
此时，交线则有3条，
故答案为：1或3．
点P在直线l上，但直线l不在平面α内，应用数学符号表示为______．
正确答案
P∈l；l⊄α
解析
解：P在直线l上，应用数学符号表示为P∈l；
直线l不在平面α内，应用数学符号表示为l⊄α．
故答案为：P∈l；l⊄α．
在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果与EF，GH能相交于点P，那么（ ）
正确答案
解析
所以P∈EF，且P∈HG，
又因为EF⊂面ABC，所以P∈面ABC，
因为HG⊂面ACD，所以P∈面ACD，
所以P是平面ABC与面ACD的公共点．
因为面ABC∩面ACD=AC．
所以P∈AC．
即点P必在直线AC上，又AC⊂面ABC，
所以点P必在平面ABC内．
故选C．
下列结论判断正确的是（ ）
正确答案
解析
对于B，不在同一直线上的四点确定一个平面，∴命题B错误；
对于C，三条平行直线可以确定一个或三个平面，∴命题C错误；
对于D，如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与CC1是异面直线，命题D正确．
故选：D．
若a⊂α，b⊂β，α∩β=c，a∩b=M，则（ ）
正确答案
解析
解：∵a∩b=M，∴M∈a，M∈b，
又a⊂α，b⊂β，
∴M∈α，M∈β，
即M是平面α，β的公共点，
∵α∩β=c，
∴M∈c．
故选：A．
下列命题中，结论正确的个数是（ ）
（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等
（3）如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
（4）如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行．
正确答案
解析
解：（1）中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故（1）错误；
（2）中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故（2）正确；
（3）中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角不一定相等或互补，故（3）错误；
（4）中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故（4）正确；
故选B
空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AC=BD，则四边形EFGH是（ ）
正确答案
解析
解：
∴EH∥BD，且EH=
同理可得FG∥BD，且FG=
∴EH∥FG，且EH=FG．
可得四边形EFGH为平行四边形．
∵△ABC中，EF为中位线，
∴EF=
又∵AC=BD，∴EF=EH，
可得平行四边形EFGH为菱形．
故选：C
给出以下五种图形：①两条线段组成的折线；②三条线段组成的折线；③三条线段组成的封闭图形；④对边相等的四边形；⑤梯形．其中是平面图形的有 ______．（将序号填入横线上）
正确答案
①③⑤
解析
解：①因为两条线段组成的折线相交于一点，所以确定一个平面，故①正确；
②三条线段组成的折线构成相交于一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，确定了3个平面，故②不对；
③因为三条线段组成的封闭图形是三角形，由公理2知是平面图形，故③正确；
④如对边相等的空间四边形不是平面图形，故④不对；
⑤因梯形的一组对边平行，故梯形是平面图形，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
求证：EH∥BD．
正确答案
证明：∵点E、F、G、H为空间四边形边AB．BC．CD．DA上的点
∴直线EH⊄平面BCD，直线FG⊂平面BCD
又EH∥FG
∴直线EH∥平面BCD
又∵EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD
∴EH∥BD
解析
证明：∵点E、F、G、H为空间四边形边AB．BC．CD．DA上的点
∴直线EH⊄平面BCD，直线FG⊂平面BCD
又EH∥FG
∴直线EH∥平面BCD
又∵EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD
∴EH∥BD
如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个分类计数问题，
一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个，
一共有6个面，共有6×6=36种结果，
长方体的对角面组成两组，共有6个对角面，共有12种结果，
根据分类计数原理知共有36+12=48种结果，
故选B．
下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
对于B，如图，AB在平面ABCD内，C1D1在平面A1D1C1B1内，但它们是平行直线，故B错；
对于C，根据定理：“垂直于同一平面的两直线是平行直线”，知C其正确；
对于D，平面ABB1A1与平面BCB1C1都垂直于平面ABCD，但它们不平行．故D错．
故选C．
给出下列四个命题，其中真命题的序号为______．
（1）“直线a∥直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；
（2）“直线l⊥平面α”的充要条件是“l垂直于平面α内的无数条直线”；
（3）“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件；
（4）“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l垂直于β”．
正确答案
③④
解析
解：对于（1），“直线a∥直线b”推不出“a平行于b所在的平面”；反之“a平行于b所在的平面”也不能推出直线a∥直线b，所以“直线a∥直线b”是“a平行于b所在的平面”；的既不充分也不必要条件故（1）不成立；
对于（2）“l⊥平面a”⇒“直线l⊥平面α内的所有直线；但“l垂直于平面α内的无数条直线”推不出“l⊥平面a”
故（2）不成立；
对于（3），“平面α∥平面β”能推出“α内有无数条直线平行于平面β”，但反之“α内有无数条直线平行于平面β”成立推不出“平面α∥平面β”，所以（3）对；
对于（4）“有一条与α平行的直线l垂直于β”成立，能推出α存在于l平行的直线垂直β，所以“平面α⊥平面β”所以（4）对
故答案为（3）（4）．
正确答案
证明：∵
∴MQ∥BD且
由
且
于是MQ∥NP，因此M，N，P，Q四点共面．
解析
证明：∵
∴MQ∥BD且
由
且
于是MQ∥NP，因此M，N，P，Q四点共面．
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