热门试卷

解：（1）因为AP⊥D'E，AP⊥EF，D'E∩EF=E，

所以AP⊥平面D'EF，

所以AP⊥D'F，

即D'F与AP所成角的大小为。

（2）由（1）知AP⊥平面D'EF，

所以平面D'EF⊥平面ABCP，

并且因为二面角D'-AP-B的大小为

所以易知∠D'EF=

过D'作平面ABCP的垂线，垂足为H，则H必在EF上，

所以∠D'FE=，

所以△D'EF是等边三角形，

所以D'E= EF，即DE=EF，

所以△DAF是等腰直角三角形，所以易得DP=1且

所以四棱锥D'-ABCP的高D'H=

又因为

∴。

（1）取AB的中点O，连接OS，则有OS⊥AB

又∵平面SAB⊥平面ABC，

∴OS⊥平面ABC       …（2分）

∴以AB为x轴，OS为z轴，过O作AC的平行线为y轴，如图，建立空间直角坐标系O-xyz．

∵A（-1，0，0），B（1，0，0），C（-1，1，0），

S（0，0，），

∴=(2，0，0)，=(-1，1，-)，

∴cos＜，＞===-…（5分）

又异面直线AB与SC所成角大于0，小于等于，故异面直线AB与SC所成的角的余弦值为…（6分）

（2）依题意可设D（a，0，0），其中a∈[-1，1]，

∴=(a+1，-1，0)

设平面SAC的法向量为=(x，y，z)，

∵=(-1，0，-)，=(0，1，0)

∴，取=(，0，-1)…（8分）

设CD与平面SAC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==

∴(a+1)=…（10分）

两边同平方，化简得a2+2a-1=0

∴a=-1-(舍去)或者a=-1

所以满足条件的点D的坐标为(-1，0，0)…（12分）

解：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形

且为平行四边形，

是PB与DE的所成角，

中，BF=，PF=，PB=3，

异面直线PB和DE所成角的余弦为；

（Ⅱ）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：，

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，

设平面PFB的一个法向量为，

则可得

即

令x=1，得，

所以，

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，

所以得：，

解得，

因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为。

（1）分别取AB，AC的中点F，H，连接PH，HF，HE，EF

由于E、F分别是BC、AB的中点，故EF是△ABC的中位线，则有EF∥AC，

故∠PEF是异面直线PE与AC所成的角或补角

在△PEF中，PE=PF=，EF=

故cos∠PEF=

（2）由于PA=PC，H是AC的中点，

有PH⊥AC

又由面PAC⊥面ABC

面PAC∩面ABC=AC

有PH⊥面ABC

故∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角

在△PBH中，PH=，PH=

∴tan∠PBH==

故sin∠PBH=

（3）∵VP-ABC=VC-PAB=S△ABC•PH=•×1×1×=

又由三角形PAB的面积S△PAB=

∴点C到平面PAB的距离h==

以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，

则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C1（2，2，2）

（1）则=（0，1，2），=（-1，0，2）

设异面直线AE和BF所成角为θ

则cosθ=||=

即异面直线AE和BF所成角的余弦值为

（2）∵=（2，0，0）为平面BDD1的一个法向量，

设向量=(x，y，z)为平面BFC1的一个法向量

则，即

令z=1，则向量=(2，-1，1)为平面BFC1的一个法向量

∵cos＜，＞==

∴sin＜，＞=

∴平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为

解：（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=．

S△ABC=AB×BC=2．

所以S=2S△ABC+S侧=4+（2+2+4）×4=24+12．

（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，

所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）．

在△A1BC1中，A1B=2，BC1=2，A1C1=4，

由余弦定理可得cos∠BA1C1=，

所以∠BA1C1=arccos．

即异面直线A1B与AC所成角的大小为arccos．

（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），

F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．

（1）易得=（0，，1），

=（0，2，-4）．

于是cos＜，＞==-．

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．

（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（-1，-，4），=（-1，，0），

于是•=0，•=0．

因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．

又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．

（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则

即

不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）．

由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．

于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．

二面角A1-ED-F的正弦值是

证明：（I）∵NA=NB=NC，

∴N是△ABC外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC⊥AC…（2分）

∵CM⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴MC⊥BC…（4分）

∴BC⊥面MAC

∴BC⊥MA…（6分）

（II）取MB的中点P，连结CP，NP，

则NP∥AM，所以∠PNC是直线AM与CN所成的角，…（8分）

令AN=NB=NC=1，

∴AM=2，NP=1，CP=MB=1

在△CPN中，CP=NP=CN=1…（10分）

∴∠PNC=60°…（12分）

以DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DD′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．

设正方形边长为2，

则D点为原点，D′（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，0），C′（0，2，2）

∴=（1，0，-1），=（-1，1，2）

∴cos＜ ，＞====-

∵向量夹角的范围为[0，π]

∴，的夹角为150°

（1）由已知可得：SA⊥CD，CD⊥AD∴CD⊥平面SAD，（2分）

而CD⊆SCD，∴平面SAD⊥平面SCD（3分）

（2）设AC中点O，SC中点E，AB中点F，

BC中点G，连接OE、OF、EF、EG、FG

EG∥SB，FG∥AC，∠EGF是AC、SB所成的角（或补角）（5分）

∴OE=SA=，OF=CE=，EF==

又∵FG=AC=，EG=SB=

∴cos∠EGF==（7分）

∴AC与SB所成的角为arcos（8分）

（3）连接MO，根据三垂线定理可得：MO⊥AC，MF⊥面ABCD，OF⊥AC

∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角（10分）

tan∠MOF==

∴F二面角M-AC-B的大小为artan（12分）