- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b．其中正确的个数有
（ ）
正确答案
解析
解：对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确
对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确
对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误
对于④：假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则面α、β相交于直线a，过直线b做一平面γ与面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确
故选C
已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．由线面垂直定理，面面垂直定理，知若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β．故A正确．
B．若m∥α，α∩β=m，则m与n平行、相交或异面，故B不正确；
C．由线面垂直定理，知若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故C正确；
D．由面面平行定理，知若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故D正确．
故选B．
下列四个命题中真命题是（ ）
正确答案
解析
解：垂直于一条直线的两条直线之间的关系可以平行，相交和异面，
过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线只有一条，
正四棱柱的概念是底面是正多边形，侧棱都与底面垂直，
过球面上任意两点的大圆是唯一的，若所取的任意两点与球心在同一直线的话，就可以得到无数个大圆了．
故选B．
正确答案
解：四边形EFGH为正方形．下面给出证明：
∵E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，
∴
∴
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可证：
∵AC=BD，BD⊥AC，
∴EF=EG，EF⊥EG．
∴平行四边形EFGH是正方形．
解析
解：四边形EFGH为正方形．下面给出证明：
∵E、F、G、H分别为AB、AD、CB、CD的中点，
∴
∴
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可证：
∵AC=BD，BD⊥AC，
∴EF=EG，EF⊥EG．
∴平行四边形EFGH是正方形．
若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：在A中：n可以平行于β，也可以在β内，故A为假命题；
在B中：因为平行于同一平面的两直线可以平行，相交，异面，故B为假命题；
在C中：因为垂直于同一平面的两直线平行，故C为真命题；
在D中，m、n也可以不互相垂直，故D为假命题．
故选C．
下面四个命题，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：在A中，只有当a，b相交时，才有平面α⊥平面β，故A不正确；
在B中，当直线a平行平面α内的无数条平行直线时，
则直线a不一定平行于平面α，故B不正确；
在C中，直线a垂直直线b在平面a内的射影，则直线a，b相交或垂直；
在D中，若直线a，b．c两两成异面直线，
则一定存在直线与a，b，c都相交，故D成立．
故选D．
下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；
B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；
C、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故C正确．
D、比如空间四边形则不是平面图形，故D不对；
故选C．
已知：平面α∩平面β=α，平面α∩平面γ=b，平面γ∩平面β=c且a、b、c不重合．求证：a、b、c交于一点或两两平行．
正确答案
若a、b、c中存在两条直线相交，不妨设a∩b=P，
则P∈a，P∈b，
∵α∩β=a，∴a⊂α，则P∈α，
α∩γ=b，∴b⊂γ，则P∈γ，
∴P在α与γ的交线上，即P∈c．
∴a、b、c交于一点；
若a、b、c中任何两条直线都不相交，
∵a⊂α，b⊂α，根据同一平面内两条直线不相交则平行，
∴a∥b，同理b∥c．
∴a∥b∥c．
综上，平面α∩平面β=a，平面α∩平面γ=b，平面γ∩平面β=c且a、b、c不重合，则a、b、c交于一点或两两平行．
解析
若a、b、c中存在两条直线相交，不妨设a∩b=P，
则P∈a，P∈b，
∵α∩β=a，∴a⊂α，则P∈α，
α∩γ=b，∴b⊂γ，则P∈γ，
∴P在α与γ的交线上，即P∈c．
∴a、b、c交于一点；
若a、b、c中任何两条直线都不相交，
∵a⊂α，b⊂α，根据同一平面内两条直线不相交则平行，
∴a∥b，同理b∥c．
∴a∥b∥c．
综上，平面α∩平面β=a，平面α∩平面γ=b，平面γ∩平面β=c且a、b、c不重合，则a、b、c交于一点或两两平行．
空间4点A，B，C，D共面但不共线，下列结论中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：由空间四点A、B、C、D共面但不共线得：
选项A，四点共面不一定三点共线，有可能每三点都不共线，如四边形的四个顶点；
选项C，AB，BC，CD，DA中不一定有两条平行，如一般四边形；
选项D，AB与CD不一定相交，有可能平行；
可得只有答案B成立．
故选 B．
有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆周上有不重合的三个点，由这九个点确定的直线最少有（ ）
正确答案
解析
解：在小圆上确定三个点，
两两连接三个点，并延长交外圆于6个点，
下面确定这9个点确定的直线条数，
从9个元素中任取两个共有C92=36种结果，
其中有3组四个点在同一条直线上，所以要减去3C42=18，
这样多减去了3条线，
∴共有36-18+3=21，
故选C．
对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，则四边形MNPQ是______．
正确答案
矩形
解析
解：如图所示．
∵点M、N、P、Q分别是四条边的中点，
∴
∴四边形MNPQ是平行四边形．
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，
∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形．
故答案为：矩形．
给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直干同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中真命题是______（写出所有真命题的序号）
正确答案
解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错
对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对
对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．
对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对
故答案为：②④．
解析
解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错
对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对
对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．
对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对
故答案为：②④．
在空间中，给出下面四个命题：
（1）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（2）若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；
（3）两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线；
（4）两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
其中正确的命题的序号是______．
正确答案
（1）（4）
解析
解：假设过一点有至少两个平面α，β与已知直线垂直，则α∥β，这与假设矛盾，故假设不成立，（1）正确
若这两点分布在平面两侧，则过两点的直线与该平面相交，故（2）错误
若平面α⊥平面β，则平面α内的相交直线在平面β的射影不是相交直线，故（3）错误
若平面α⊥平面β，交线为l，平面β内垂直于l的直线有无数条，这些直线都垂直于平面α，即在平面α内的任意一直线必垂直于平面β内的无数条直线，故（4）正确
故答案为 （1）（4）
给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；
③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；
④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．
其中为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行，故①是假命题；
若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行，故②是真命题；
若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线与另外一个平面相交或平行，故③是假命题；
若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面，故④是真命题．
故选D．
直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面共有（ ）
正确答案
解析
解：由于过两平行的直线有且只有一个平面
则经过其中两条直线的平面有3个．
故答案为 C
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