- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
给出互不重合的直线m、n、l和互不重合的平面α、β，下列四个命题：
①若m⊂α，l∩α=A，A∉m，则l与m不共面；
②若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β；
④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m．
其中真命题有（ ）
正确答案
解析
解：∵①中若m⊂α，l∩α=A，A∉m，由异面直线判定定理可得l与m异面，故①为真命题；
②中若l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α，故②为真命题；
③中若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，故③为真命题；
④中若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m可能平行，也可能相交，也可能异面，故④为假命题．
故真命题的个数有3个，
故选C
已知m，n，l是三条直线，α，β是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是______
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；
③若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
正确答案
②④
解析
解：若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；故①不正确，
若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；这是线与面平行的定义，故②正确，
若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故③不正确，
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故④正确，
综上可知只有②④正确，
故答案为：②④
α表示一个平面，l表示一条直线，则α内至少有一条直线与直线l（ ）
正确答案
解析
解：由题意，α表示一个平面，l表示一条直线
①若直线l在平面α内，则过直线上任一点，都可以作直线与直线l垂直；
②若直线l与平面α平行，则在平面α内，必有直线与之平行，由①知至少有一条直线与直线l垂直；
③若直线l平面α相交，则在平面α内，必有直线与其射影垂直，从而至少有一条直线与直线l垂直；
故选D．
设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确是（ ）
正确答案
解析
解：A直线垂直于一个平面的两条相交直线，直线才和平面垂直，所以A不正确．
B若直线垂直平面，则和直线平行的直线也垂直于这个平面，所以B正确．
C和一个平面都平行的两条直线可能平行或异面或直线相交，所以C不正确．
D垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交，所以D错误．
故选B．
（1）EP⊥AC；
（2）EP∥BD；
（3）EP∥面SBD；
（4）EP⊥面SAC．
正确答案
解析
解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
（1）由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2．
故选B．
已知命题“直线与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线上的点都在平面α内；
②直线上有些点不在平面α内；
③平面α内任意一条直线都不与直线平行．
其中真命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：由于命题“直线与平面α有公共点”是真命题，则直线与平面α相交或在平面α内，
①显然不对；
②也不对，直线上有些点不在平面α内或都在平面α内；
③不对，若已知直线在平面α内，则平面α内有无数条直线与已知直线平行，故③错．
故真命题个数为0．
故选A．
（2015秋•吉安期末）对于给定的直线a与平面α，则下列结论成立的是（ ）
正确答案
解析
解：对于给定的直线a与平面α，α内存在于a在α内射影垂直的直线，∴α内存在于a垂直的直线，
故选：A．
设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α．则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α．则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n且n∥β，则l∥m．
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①④
解析
解：由线面垂直的性质定理，可命题①正确；
在命题②的条件下，直线l可能在平面α内，故命题为假；
在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；
在命题④中，由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，命题④正确．
故答案为：①④．
（2015秋•安徽期末）设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：A，因为一条直线与一个平面都垂直于同一个平面，此面与线的位置关系是线在面内或线与面平行，故不正确．
B，∵a∥α，b∥α，∴当a，b共面时，满足a∥b或a，b相交，当a，b不共面时，a和b为异面直线，∴a和b的关系是平行、相交或异面，故不正确；
C，因为a∥α，α⊥β，则a⊥β，不一定成立，a可能与β平行，或者平面β内，故不正确；
D，因为a∥β，所以由a∥β可得，在平面β内存在一条直线b，使得a∥b，因为a⊥α，所以b⊥α，所以a∥β，正确
故选：D．
已知a，b，c为三条互相平行的直线，α，β为两不重合平面，a⊆α，b⊆β，c⊆β，则α与β的关系是（ ）
正确答案
解析
则由a∥b，可推出a∥l，如图，
α∥β也成立，如图所示．
故选：C．
已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是______．
正确答案
2个
解析
解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，
∵β∥α
∴m∥α，n∥α，
而m不平行于n，故①不正确；
对于②：∵m∥α，
∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，
又∵n⊥α，m′⊂α
∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；
对于③：∵m∥β，
∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，
又∵m⊥α，得m′⊥α，
∵β经过α的垂线，
∴α⊥β，故③正确．
故答案为：2个
m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．下列命题为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；
若m⊥α，n⊥β，则m与n的位置关系不确定，故B错误；
m⊥α，m∥β，由面面垂直的判定定理得：α⊥β，故C正确；
若α⊥β，m⊂α，则m与交线垂直时m⊥β，m与交线不垂直时m⊥β也不成立，故D错误
故选C
对于平面α和共面的两直线m、n，下列命题中是真命题的为（ ）
正确答案
解析
解：选项A，若m⊥α，m⊥n，则n∥α，或n⊂α，故A错误；
选项B，若m∥α，n∥α，则可能m∥n，或mn相交，故B错误；
选项C，由同垂直于一个平面的直线平行，可知若m⊥α，n⊥α，则必有m∥n，故C正确；
选项D，若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，需满足mn相交，才可推出α∥β，故D错误．
故选C
设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
B．若a，b与α所成的角相等，
则a∥b或a，b相交或a，b异面，故B错；
C．若a⊥α，a∥β，则过a的平面γ∩β=c，即有c∥a，
则c⊥α，c⊂β，则α⊥β，故C正确；
D．若a∥b，a⊂α，则b⊂α，或b∥α，由线面平行的判定定理得，
若a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α，故D错．
故选C．
给出下列命题，正确的是（ ）
①一条直线与另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的所有直线平行；
③经过两条异面直线a，b外一点，必有一个平面与a，b都平行；
④经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线．
正确答案
解析
解：①错，因为直线也可以在平面内；
②错，因为一条直线和一个平面平行，只是和平面内的直线无交点，可以平行，也可以异面；
③错，过两条异面直线a，b外一点可以做这两条直线的平行线，确定的平面就通过a或b；
④对，经过两条异面直线中的一条上的某一点，可以做另一条直线的平行线，确定的平面平行于另一条直线．
故选C．
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