- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
设a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）
正确答案
解析
解：A选项不正确，由于a⊥α，b∥α，可得出a⊥b，故此命题是正确命题
B选项不是正确选项，若a⊥α，b∥a，可得出b⊥α，又b⊂β，由字定理知则α⊥β，故此命题是正确命题
C选项不是正确选项，若a⊥α，b⊥β，α∥β两条直线分别垂直于两个平行平面，可得出a∥b，故此命题是正确命题
D选项是正确选项，a∥α，a∥β，不能得出α∥β，因为平行于同一直线的两个平面可能相交
故选D
a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，∵a∥b，∴a与b可以确定平面β．若β∥α，则b∥β；若α∩β=l，∵a∥平面α，∴a∥l．取l为b，则b⊂α，故A不正确；
对于B，因为直线a⊥b，直线b⊥α，所以若a⊄α，则a∥α，或者a⊂α，故B不正确；
对于C，若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，故不正确；
对于D，若a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质定理可得a∥b，正确．
故选：D．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，则在平面BCC1B1内过点P与直线AC成50°角的直线有（ ）
正确答案
解析
cos∠PCA=
故选C．
a，b，c表示直线，M表示平面，下列条件中能使a⊥M的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，a⊥b，a⊥c，b⊂M，c⊂M，由于b，c不一定相交，故不满足定理的条件，所以A不正确；
对于B，a⊥b，b∥M，a⊥M是不一定，所以不正确；
对于C，a∩b=A，b⊂M，a⊥b不满足线面垂直的判断，所以不正确；
对于D，α∥b，b⊥a，满足线面垂直的判断，所以正确．
故选D
（2013秋•滕州市校级期中）给出命题：
（1）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（2）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
（3）若空间中的一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
（4）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确的命题是______．
正确答案
（1）（3）
解析
解：对于（1），设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，根据线面垂直的性质以及判定定理，可以判断m⊥α；故（1）正确；
对于（2），已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则由“α⊥β”m与β可能平行或者相交；由m⊥β得到α⊥β，所以α⊥β是“m⊥β”的必要不充分条件；故（2）错误；
对于（3），若空间中的一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影到三角形各边距离相等，所以是该三角形的外心；故（3）正确；
对于（4），a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行错误；因为这两条异面直线不一定垂直；
故答案为：（1）（3）．
如图，在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是
正确答案
解析
解：在正三棱锥V-ABC中，E是BC的中点；
∴VA与底面所成角是∠VAE；
∵△VAE的面积是
∵正三棱锥V-ABC的底面边长为2，∴AE=
即三棱锥的高为
∴VA=
∴sin∠VAE=
故选Arcsin
若α，β为两个不同的平面，m、n为不同直线，下列推理：
①若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则直线m⊥n；
②若直线m∥平面α，直线n⊥直线m，则直线n⊥平面α；
③若直线m∥n，m⊥α，n⊂β，则平面α⊥平面β；
④若平面α∥平面β，直线m⊥平面β，n⊂α，则直线m⊥直线n；
其中正确说法的序号是（ ）
正确答案
解析
解：对于①，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以由面面垂直的定义知m与n所成的角为90°，故①正确；
②若直线m∥平面α，直线n⊥直线m，则直线n∥平面α或直线n⊂平面α或直线n⊥平面α，故②错；
③若直线m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊂β，故α⊥β，故③正确；
④若平面α∥平面β，直线m⊥平面β，则直线m⊥α，又n⊂α，故直线m⊥直线n，故④正确．
故选B．
（2013•温岭市校级模拟）设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A．若a⊥α，则此时α⊥β，∴β∥α不成立，∴A错误．
B．当a⊥α时，有α⊥β成立，∴B正确．
C．不管直线a与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线b垂直，∴C不正确．
D．当a∥α时，根据线面平行的性质可知，在平面α内存在直线b，使得a∥b成立，∴D错误．
故选：C．
已知α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列命题中正确命题是（ ）
正确答案
解析
解：选项A，若α⊥β，l⊥β，则l∥α，不正确，l也可能在平面α内；
选项B，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理可知正确；
选项C，若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α，不正确，当两点在平面两侧时不正确；
选项D，若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β，不正确，如正方体共顶点的三个平面；
故选B
设α，β，γ，α1，β1分别为空间中不同的平面，下列四个命题中正确命题的个数为（ ）
（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
（2）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β则α1⊥β1
（4）若直线l在平面α内的射影是直线l1，直线m⊥l1，则m⊥l．
正确答案
解析
解：（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β=m，故不正确；
（2）若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α∩γ=m，故不正确；
（3）设α1、β1的法向量分别为
∵α∥α1，β∥β1，α⊥β，∴
（4）若m⊂α，根据三垂线定理可知m⊥l．正确，但本题没有明确m⊂α，故不一定正确．
综上可知：只有（3）正确．
故选A．
已知直线l⊥平面α，m为与直线l不重合的直线．下列判断：
①若m⊥l，则m∥α；
②若m⊥α，则m∥l；
③若m∥α，则m⊥l．
其中正确的序号是______．
正确答案
②③
解析
解：∵根据线面垂直的性质知l⊥平面α，m⊥l，则m∥α或m⊂α；故①错误，
根据线面垂直的性质知l⊥平面α，m⊥平面α，则l∥m，故②正确；
根据线面平行的性质知若l⊥平面α，m∥α，则m⊥l，故③正确
故答案为：②③
m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β；（ ）
正确答案
解析
解：对于①，m⊥α，n∥β，α∥β利用线面垂直、线面平行以及面面平行的性质定理可以得到m⊥n；故①正确；
对于②，m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β或者n在β内；故②错误；
对于③，m⊥n，α∥β，m∥α得到n与β可能相交或者平行或者在β内；故③错误；
对于④，m⊥α，m∥n，得到n⊥α，又α∥β⇒n⊥β；故④正确；
故选：B．
A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：A为公理一，判断线在面内的依据，故正确；
B为公理二，判断两条直线相交的依据，正确；
C中l⊄α分两种情况：l与α相交或l∥α，l与α相交时，若交点为A，则C错误．
D中A、B、C不共线，由公理三，经过A、B、C的平面有且只有一个，故结论正确．
故选C
已知l 是直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中：
①若l∥α，l∥β，则α∥β． ②若α⊥β，l∥α，则l⊥β．
③若l⊥α，l∥β，则α⊥β． ④若α∥β，l∥α，则l∥β．
其中是真命题的序号是______．
正确答案
③
解析
解：对于①，若l∥α，且l∥β，则α∥β或α与β相交，所以①错；
②若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β，故②错误；
③由面面垂直的判定，可以判断③正确；
④若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故④错误
故答案为③
给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件．
正确答案
解析
解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；
即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；
但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，
即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；
故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件
故选C
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