- 点、直线、平面之间的位置关系
- 共9241题
给出下列命题
①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；
②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；
③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；
④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：对于①，直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外，而本命题没有，故错误；
对于②，符合平面与平面垂直的性质定理，故正确；
对于③，考虑两个集合间的包含关系（2，+∞）⊊（3，+∞），而x0∈（3，+∞），比如x=4，则4∈（2，+∞），故错误；
对于④，由a2＜2a可以得到：0＜a＜2，一定推出a＜2，反之不一定成立，故“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件，此命题正确．
综上知②④中的命题正确，
故选C．
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点，试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关系．
正确答案
解：建系如图
设正方体的棱长为2，M、N分别为AB、B1C的中点，则
设平面A1BD的法向量为
所以
所以MN与平面A1BD垂直．
解析
解：建系如图
设正方体的棱长为2，M、N分别为AB、B1C的中点，则
设平面A1BD的法向量为
所以
所以MN与平面A1BD垂直．
已知α、β表示两个不同的平面，a、b表示两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于选项A，垂直于同一平面的两条直线平行，故A是真命题，是正确选项；
对于选项B，与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，故是假命题；
对于选项C，a⊥α，α⊥β，不能保证a∥β，此时可能有a⊂β，故是假命题；
对于选项D，a⊥α，a⊥b，不有推出b∥α，此时可能有b⊂α，故是假命题．
故选A．
下列所有命题：
（1）过空间内任意一点，可以作一个和异面直线a，b都平行的平面；
（2）如果a，b是异面直线，过直线a有且只有一个平面和b平行；
（3）有两个侧面是矩形的平行六面体是直四棱柱；
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（5）一个正棱锥的各个侧面都是正三角形，则它只能是正三棱锥、正四棱锥或正五棱锥．
其中真命题的序号是______．（填上所有真命题的序号）
正确答案
（2）（5）
解析
解：经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，
有时会出现其中一条直线在所作的平面上，故①不正确，
直线a和直线b的公垂线是唯一的，和直线a、直线b都垂直，设为l，则经过a与l垂直的平面α与经过b垂直于l的平面β互相平行，并且这样的平面α、β是唯一存在的，故②正确．
有相对的两个侧面都垂直于底面，而另外的两个侧面与底面不垂直的四棱柱不是直四棱柱，故③不正确
三棱锥的底面为等边三角形，设边长为
由正多边形的边长与半径的关系可知，正三角形、正方形和正五边形的边长大于半径，当边数大于或等于六时，边长小于或等于半径，作出正棱锥的高，再根据直角三角形斜边大于直角边，可知⑤正确．
故答案为：（2）（5）
已知m，n是两条异面直线，点P是直线m，n外的任一点，有下面四个结论：①过点P一定存在一个与直线m，n都平行的平面．②过点P一定存在一条与直线m，n都相交的直线．③过点P一定存在一条与直线m，n都垂直的直线．④过点P一定存在一个与直线m，n都垂直的平面．则四个结论中正确的个数为（ ）
正确答案
解析
解：①错．因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论．
②错．因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论．
③对，将直线m和n平移到一起，确定一个平面，过点P作平面的垂线即可；
④错．若结论成立，则有m∥n，而m与n不一定平行；
故选A
下列命题中不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，根据线面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两条直线平行正确；
对于B，根据面面平行的判定定理能够得到垂直于同一条直线的两个平面平行正确；
对于C，是面面平行的判定定理，故正确；
对于D，一条直线平行于一个平面，则这条直线与于此平面内的任意一条直线位置关系是平行或者异面；故D错误．
故选D．
已知直线l，m，平面α，且m⊂α，那么“l∥m”是“l∥α”的（ ）
正确答案
解析
证明：直线l，m，平面α，且m⊂α，若l∥m，当l⊄α时，l∥α，当l⊂α时不能得出结论，故充分性不成立，
若l∥α，过l作一个平面β，若α∩β=m时，则有l∥m，否则l∥m不成立，故必要性也不成立，
由上证知“l∥m”是“l∥α”的既不充分也不必要条件
故选D．
已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列四个命题：
（1）若l垂直于α内的两条直线，则l⊥α；
（2）若m∥α，l⊥α，则m⊥l；
（3）若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
（4）若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的个数是（ ）
正确答案
解析
解：（1）若l垂直于α内的两条直线，则l⊥α，此命题不正确，由线面垂直的判定定理知，只有当此两直线相交时才可得出线面垂直，而此命题的题设条件不能保证这一点；
（2）若m∥α，l⊥α，则m⊥l，此命题正确，若m∥α，则在α内存在直线与m平行，而l⊥α，可得此与m平行的直线与l垂直，从而得到m⊥l；
（3）若l∥α，则l平行于α内的所有直线，此命题不正确，若l∥α，则l与面内的线可能平行，也可能异面，故不正确；
（4）若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l，此命题不正确，两平面平行，则两平面的线可能平行也可能异面．
综上，只有（2）正确；
故选B
直线l与平面a内的两条直线都垂直，则直线l与平面a的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：由线面垂直的判定定理知，当平面a内的两条直线相交时，则l⊥α；
再由线面平行的性质定理和线线垂直的定义知，当l∥α或 l⊂α时，
都有无数条直线与l垂直．
故选D．
已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
正确答案
解析
解：当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，
这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，故A不正确，
当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，
这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，故B不正确，
C选项中直线l与平面α或相交或包含关系，故C不正确，
总上可知D是一个正确答案，
故选D．
设l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若l∥α，l⊂β，α∩β=m，n⊄α，m∥n，则l∥n；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m，n是两条异面直线，l⊥m，l⊥n，n⊂α，m⊂β且α∥β，则l⊥α；
④若l⊂α，m⊂β，n⊂β，l⊥m，l⊥n，则α⊥β；
其中正确命题的序号是（ ）
正确答案
解析
解：对于①，若l∥α，l⊂β，α∩β=m，得到l∥m，又n⊄α，m∥n，则l∥n；故①正确；
对于②，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β有可能相交；故②错误；
对于③，若m，n是两条异面直线，l⊥m，l⊥n，n⊂α，m⊂β且α∥β，过m的平面与α相交于直线a，则a∥m，则l⊥a，所以l⊥α；故③正确；
对于④，若l⊂α，m⊂β，n⊂β，l⊥m，l⊥n，如果m∥n，则α⊥β错误；
故正确的命题是①③；
故选A．
对于直线m、n和平面α、β、γ，有如下五个命题：
①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；
④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
⑤若α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥γ；
其中正确的命题个数为（ ）
正确答案
解析
解：①当n⊂α时，结论不成立，故①错．
②当n⊂α时，结论不成立，故②错．
③当α和γ相交时也有可能同时垂直β，故③正确．
④∵m⊥α，m∥n，
∴n⊥α，
∵n⊂β，
∴α⊥β，故④正确．
⑤当m⊂α，n⊂α时，α∥γ不一定成立故⑤错误．
不选B．
已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；
④若n⊊α，m⊊α，且n∥β，m∥β，则α∥β；
⑤若m，n为异面直线，n⊊α，n∥β，m⊊β，m∥β，则α∥β．
则其中正确的命题是______．（把你认为正确的命题序号都填上）
正确答案
②⑤
解析
解：①若α⊥γ，β⊥γ，α、β也可以相交，错误；②垂直于同一直线的两平面平行，所以正确；③α、β相交时，α内也会存在不共线的三点到β的距离都相等，错误；④当m、n都在α内，m∥n，且n∥β，m∥β，两平面也可能相交；⑤m，n为异面直线，n⊊α，n∥β，m⊊β，m∥β，在α内作直线a，b使得a∥m，b∥n，∴a∥β，b∥β，又∵m，n为异面直线，∴a、b为α内的两相交直线，∴α∥β，正确．
故答案为：②⑤．
已知m，n是两条不同的直线，a，β，γ是三个不同的平面，下列命题：①若m∥α，n∥α则m∥n； ②若α⊥β，β⊥γ，则α∥β； ③若m∥α，m∥β，则α∥β； ④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．其中正确的命题是______．
正确答案
④
解析
解：①若m∥α，n∥α则m∥n，平行于同一个平面的两条直线可能相交或异面，故此命题不正确；
②若α⊥β，β⊥γ，则α∥β，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故此命题不正确；
③若m∥α，m∥β，则α∥β，平行于同一条直线的两个平面可能相交，故此命题不正确；
④若m⊥α，n⊥α，则m∥n，由线面垂直的性质可得，此两直线平行，故此命题正确．
故答案为④
（2015秋•南昌校级期中）P为△ABC所在平面外一点，PB=PC，P在平面ABC上的射影必在△ABC的（ ）
正确答案
解析
解：因为P为△ABC所在平面外一点，PB=PC，所以设P在平面ABC是射影为O，则OB=OC，所以P在平面ABC上的射影必在△ABC的BC的垂直平分线上；
故选：A．
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